平衡搜索二叉树之AVL树解析

前言

树这个神奇的结构，由于其带有数学中指数增长的性质，再给予其一些特殊的性质后，被广泛应用于存储和搜索等苦力活，今天我们来学习用来搜索二叉树中的AVL树是如何实现高效的搜索功能的。

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一、搜索二叉树和平衡二叉树

1.1、搜索二叉树（以升序为例）

首先对于同学们二叉树一定都有一定的了解了，原本的二叉树中每个节点的（key）值是没有关系、且无序的。

而搜寻二叉树中，每个节点的key值一定是大于其左子树的最大值，小于右子树的最小值的。由于这添加了这个特性,此时，这个二叉树在中序遍历时，其结果其结果将会是一个升序的顺序（若要降序，将左根右的大小关系反转即可）。

中序访问有序

1.2、平衡二叉树

在二叉树中，由于每个节点的左右子树可以存在空树，所以在节点数一定的情况下，如果树中的空节点越多，树的高度就会越高，如果我们看最坏的情况，这棵树将退化为一条单链。

如上右图，当树退化为单链时，树就失去了指数增长的优势，结果就是，对该树的一系列的操作时间复杂度都会变高，这种极其影响效率的结果是我们所杜绝的。

平衡二叉树的概念就是：平衡——每个节点的左右子树高度差都只能在[-1,1]中徘徊，这样二叉树将更加趋近完全二叉树。

特别的：

在结合以上2点后，这棵树由于：

①中序遍历有序 ②遍历时可根据大小快速访问到对应节点（每一层节点数量都是指数增加）

一棵被用于搜索的理想二叉树就横空出世了，即平衡搜索二叉树。

二、AVL树

2.1AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

首次提出解决方法：两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树

• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)。

2.2AVL树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode(const T& data)
    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
    , _data(data), _bf(0)
    {}
    AVLTreeNode* _pLeft; // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode* _pRight; // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf; // 该节点的平衡因子
};

2.3AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// 
// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树
// 的平衡性
/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足
AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此
时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
*/
    while (pParent)
    {
    // 更新双亲的平衡因子
        if (pCur == pParent->_pLeft)
        pParent->_bf--;
        else
        pParent->_bf++;
    // 更新后检测双亲的平衡因子
        if (0 == pParent->_bf)
        {
            break;
        }
        else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
        {
    // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
    为根的二叉树
    // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
            pCur = pParent;
            pParent = pCur->_pParent;
        }
        else
        {
    // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
    // 为根的树进行旋转处理
        if(2 == pParent->_bf)
        {
            // ...
        }
        else
        {
            // ...
        }
      }
    }
    return true;
}

2.4AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加
了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(PNode pParent)
{
    // pSubL: pParent的左孩子
    // pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
    PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
    pParent->_pLeft = pSubLR;
    // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
    if(pSubLR)
        pSubLR->_pParent = pParent;
    // 60 作为 30的右孩子
    pSubL->_pRight = pParent;
    // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
    PNode pPParent = pParent->_pParent;
    // 更新60的双亲
    pParent->_pParent = pSubL;
    // 更新30的双亲
    pSubL->_pParent = pPParent;
    // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
    if(NULL == pPParent)
    {
        _pRoot = pSubL;
        pSubL->_pParent = NULL;
        }
    else
    {
    // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
        if(pPParent->_pLeft == pParent)
        pPParent->_pLeft = pSubL;
        else
        pPParent->_pRight = pSubL;
    }
    // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
    pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
    PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
    点的平衡因子
    int bf = pSubLR->_bf;
    // 先对30进行左单旋
    _RotateL(pParent->_pLeft);
    // 再对90进行右单旋
    _RotateR(pParent);
    if(1 == bf)
        pSubL->_bf = -1;
    else if(-1 == bf)
        pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋。

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旋转总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

• 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新