【ACM】算法题-求素数（筛法求素数）（由简至难C++多种解法）

求素数（依题限制多种解法）（C++）

题目

从键盘上输入一个正整数N(N<=100)，求N之内的素数

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100
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2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

解法

素数一般指质数，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，否则称为合数。

方法一（简单）「效率为O(sqrt(n))」(局部)

bool is_prime(int n) {//O(sqrt(n))
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0)return false;
    }
    return true;
}

方法二（简单）「效率为O(sqrt(n)/2)」（整体）

#include 
#include 

using namespace std;
using ll = long long;

bool is_prime(int n) {//O(sqrt(n)/2)
    if (n == 2)return true;
    if (n < 2 or n % 2 == 0)return false;
    for (ll i = 3; i * i <= n; i += 2) {
        if (n % i == 0)return false;
    }
    return true;
}

void Cout(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime(i))cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    is_prime(n);
    Cout(n);
    return 0;
}

方法三（较难）(筛法求素数）

(求一个大数范围内的素数要不溢出，且考虑内存限制,就要提高算法效率)

筛选法求N以内的素数

算法：

（1）挖去1；

（2）用下一个未被挖去的数P去除P后面各数，把P的倍数挖掉；

（3）检查P是否小于N的开方的整数部分，如果是，则返回2继续执行，否则就结束。

（4）剩下的数就是素数。

#include 
#include 

using namespace std;
using ll=long long;
const int maxn = 1e7 + 1;
bool prime[maxn];

void fill(int n) {
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        prime[i] = true;
    }
    prime[0] = prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (!prime[i])continue;
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
            prime[j] = false;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (prime[i])cout << i << " ";
    }
}

int test(int n) {
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (prime[i])++tot;
    }
    return tot;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    fill(n);
    return 0;
}

方法四（较难）（筛法求素数2）

#include 

using namespace std;
using ll = long long;


int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    ll N;
    cin >> N;
    vector primers = {2, 3, 5, 7};
    for (int n = primers.back() + 2; n <= N; n++) {
        bool flag = true;
        for (auto primer:primers) {
            if (primer * primer > n)
                break;
            if (n % primer == 0) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag)primers.push_back(n);
    }
    copy(primers.begin(), primers.end(), ostream_iterator(cout, " "));
    
    return 0;
}

（小细节）(clock()函数做一个计时器，检测不同解法，不同效率的运行时间)

  long long start = clock();
  fill(a, b);
  cout << test(a, b) << endl;
  long long end = clock();
  cout << 1.0 * (end - start) / CLOCKS_PER_SEC << endl;

总结

1.素数的性质。

2.筛选素数的技巧,效率，细节。