指数函数：2017年文数全国卷B题21

指数函数：2017年文数全国卷B题21

设函数 .

（1）讨论 的单调性;

（2）当 时，，求 的取值范围.

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【解答问题1】

函数的定义域为 .

导函数有两个零点：

当 ，函数 单调递减；

当 ，函数 单调递增；

当 ，函数 单调递减；

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【解答问题2】

.

当 ,

(1) 若 ,

令

则 ,

当

所以，当

即

所以，

所以， 成立.

(2) 若 ，当 , , 所以， 成立.

(3) 若 , 记

则

则

若 , 则有 ,

,

令 , 当 , , 函数 单调递减，, 即

所以， 不成立.

综上所述，求 的取值范围为 .

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【提炼与提高】

本题涉及以下几个方面的知识和技能：

（1）应用导函数讨论函数的单调性；

（2）应用不等式的性质进行转化；

（3）不等式证明中的缩放技巧；

题目难度中等，但考查的面还是比较全的。这样的考题，对于提高能力大有益处。

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