前缀和及差分
前缀和
一维前缀和
一维前缀和模板
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i];
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1];一维前缀和模板题 AcWing 795. 前缀和
795. 前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n，
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4
输出样例：
3 6 10
代码：
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],s[N];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
s[i]=s[i-1]+a[i];//一维前缀和预处理
}
while(m--){
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);//区域 [l,r] 内的数和
}
return 0;
} 二维前缀和
二维前缀和模板
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和：
s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1];二维前缀和模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
796. 子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 7 2 4 3 6 2 8 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 3 3 4
输出样例：
17 27 21
代码：
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int s[N][N];
int n,m,q;
int main(){
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&s[i][j]);
s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//二维前缀和预处理
}
while(q--){
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
//输出以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和
printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
}
return 0;
} 差分
一维差分
一维差分模板
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c一维差分模板题 AcWing 797. 差分
797. 差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 5 1 1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
代码：
#include
using namespace std;//将差分看成前缀和的逆运算
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N];
int n,m;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=a[i]-a[i-1];//构建差分数组
}
while(m--){
int l,r,c;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
//给区域中 [l, r]中的每个数都加上 c
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
b[i]+=b[i-1];//前缀和运算
printf("%d ",b[i]);
}
return 0;
} 二维差分
二维差分模板
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c二维差分模板题 AcWing 798. 差分矩阵
798. 差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1 4 3 4 1 2 2 2 2
代码：
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];// a[][]数组是 b[][]数组的前缀和数组
//（换言之，b[][]是 a[][]的差分数组）
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
//对 b数组执行插入操作，等价于给以(x1, y1)为左上角，
// (x2, y2)为右下角的 a[][]数组中的所有元素都加上 c
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main(){
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
insert(i, j, i, j, a[i][j]);//构建差分数组
}
while (q--){
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= m; j++){
b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; //二维前缀和
printf("%d ", b[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
} 可以看看大佬的详细思路讲解：
前缀和与差分 图文并茂 超详细整理（全网最通俗易懂）_林小鹿@的博客-CSDN博客