牛客网 HJ28 素数伴侣【二分图匹配,匈牙利算法】困难

描述

若两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”，如2和5、6和13，它们能应用于通信加密。现在密码学会请你设计一个程序，从已有的 N （ N 为偶数）个正整数中挑选出若干对组成“素数伴侣”，挑选方案多种多样，例如有4个正整数：2，5，6，13，如果将5和6分为一组中只能得到一组“素数伴侣”，而将2和5、6和13编组将得到两组“素数伴侣”，能组成“素数伴侣”最多的方案称为“最佳方案”，当然密码学会希望你寻找出“最佳方案”。

输入:
有一个正偶数 n ，表示待挑选的自然数的个数。后面给出 n 个具体的数字。
输出:
输出一个整数 K ，表示你求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

数据范围： $1\le n\le 100$ ，输入的数据大小满足 $2\le val\le 30000$ 。

输入描述：

输入说明
1 输入一个正偶数 n
2 输入 n 个整数

输出描述：

求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

示例1

输入：

4
2 5 6 13 

输出：

2

示例2

输入：

2
3 6

输出：

0

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解法 匈牙利算法

题意整理如下：

• 如果两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”。
• 输入N（N为偶数）个正整数，从其中挑选出若干对组成“素数伴侣”。问怎么挑选，可以使得“素数伴侣”的对数最多。

不难发现，要使得大于等于2的两正整数之和为素数，则两个数必须要一奇一偶。我们首先定义两个数组，分别存储输入整数中的奇数和偶数。然后利用匈牙利算法找到“素数伴侣”对数最多时的配对数。匈牙利算法的核心思想是先到先得，能让就让。最后输出“素数伴侣”最多时的对数。

图解展示（匈牙利算法）：

• 首先A1和B2配对（先到先得）；
• 然后轮到A2，A2也可以和B2配对，这时B2发现A1还可以和B4配对，所以放弃了A1，选择和A2组成伴侣（能让就让）。
• 接着A3直接和B1配对（先到先得）。
• 最后A4尝试与B4配对，但这样A1就只能与B2配对，而A2就找不到伴侣了，一层层递归下来，发现不可行，所以A4不能与B4配对。
  

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 30010;
int n, a;
vector<int> odd, even;
bool vis[maxn];
int match[maxn];
bool np[maxn * 2] = {true, true, false};
void findPrimes() {
    for (int i = 2; i < maxn * 2; ++i) {
        if (!np[i]) { // 是素数
            for (int j = i * i; j < maxn * 2; j += i) {
                np[j] = true;
            }
        }
    }
}
bool dfs(int x) {
    for (int j = 0; j < even.size(); ++j) { // odd[i]都可能与even[j]构成素数
        int y = even[j];
        if (!vis[y] && !np[x + y]) {
            vis[y] = true;
            if (!match[y] || dfs(match[y])) {
                match[y] = x; return true;
            }
        }
    }
    return false; // 找不到和odd[i]匹配的even[j]
}
int main() {
    cin >> n;
    findPrimes();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a;
        if (a & 1) odd.push_back(a);
        else even.push_back(a);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < odd.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < 30010; ++j) vis[j] = false;
        if (dfs(odd[i])) ++ans;
    }
    printf("%d", ans);
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")