HDU1695 GCD 欧拉函数+容斥原理

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题意:已知给定k,x,y求 1<=a<=x 1<=b<=y 中满足 gcd(a,b)=k 的(a,b)对数。(注意数对是无序的)。 1<=x,y<=1e5, 0<=k<=1e5

用到了欧拉函数,素因子分解,筛选法,组合数学上的容斥原理等,不失为一道好题!!!

 

大体思路:

有一个小小的变形:在[1...b/k]中选x,在[1....d/k]中选y,使gcd(x,y)=k,求不重复的对数

我们让d>=b;  然后在[1....d/k]进行枚举,对于每一个i,我们只要在1...min(i-1,b)中找到与i互质数,记录个数,然后累加就得到结果了

当i<=b/k时,我们可以直接用欧拉函数计算出与i互质的个数 (当然要先进行因子分解,才能求欧拉函数)

当b/k<i<=d/k时,就比较难求了,我们用b/k减去与i不互质的数的个数得到,求与i不互质的数的个数时就用到容斥原理,设i的素因子分别的p1,p2...pk,则1..b/k中p1的倍数组成集合A1,p2的倍数组成集合A2,p3到A3.....pk到Ak, 由于集合中会出现重复的元素, 所以用容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.

容斥原理的具体如下:

如果i因子个数num[i]为0,即i为素数,则区间中与i不互质的个数是0

否则,区间中与i不互质的个数 = (区间中i的每个质因数的倍数个数)-(区间中i的每两个质因数乘积的倍数)+(区间中i的每3个质因数的乘积的倍数个数)-(区间中i的每4个质因数的乘积)+...

    于是问题变成了统计每个数的不同质因数的个数而忽略次数。这个可以用筛法。具体做法如下:

    对每个数保存一个真质因数的列表。初始每个列表的长度为0。然后从2开始,分别检查每个数的列表长度,如果列表长度不为0,则这个数是合数,跳过;如果这个长度为0,则我们找到了一个质数,同时再把这个数的倍数(不包含本身)的列表里加入这个数。

代码
   
     
#include < iostream >
using namespace std;
const int Max = 100005 ;
__int64 elur[Max];
// 存放每个数的欧拉函数值
int num[Max]; // 存放数的素因子个数
int p[Max][ 20 ]; // 存放数的素因子
void init() // 筛选法得到数的素因子及每个数的欧拉函数值
{
elur[
1 ] = 1 ;
for ( int i = 2 ;i < Max;i ++ )
{
if ( ! elur[i])
{
for ( int j = i;j < Max;j += i)
{
if ( ! elur[j])
elur[j]
= j;
elur[j]
= elur[j] * (i - 1 ) / i;
p[j][num[j]
++ ] = i;
}
}
elur[i]
+= elur[i - 1 ]; // 进行累加(法里数列长度)
}
}
int dfs( int idx, int b, int now) // 求不大于b的数中,与now不互质的数的个数;
{ // dfs()写的容斥原理
int ans = 0 ;
for ( int i = idx;i < num[now];i ++ ) // 容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数.
ans += b / p[now][i] - dfs(i + 1 ,b / p[now][i],now);
return ans;
}

int main()
{
int t,a,b,c,d,k;
init();
scanf(
" %d " , & t);
for ( int ca = 1 ;ca <= t;ca ++ )
{
scanf(
" %d%d%d%d%d " , & a, & b, & c, & d, & k);
printf(
" Case %d: " ,ca);
if (k == 0 )
{
printf(
" 0\n " );
continue ;
}
if (b > d)
swap(b,d);
b
/= k; d /= k;
__int64 ans
= elur[b];
for ( int i = b + 1 ;i <= d;i ++ )
ans
+= b - dfs( 0 ,b,i); // 求不大于b的数中,与i不互质的数的个数
printf( " %I64d\n " ,ans);
}
return 0 ;
}

 

这算是一道比较复杂的数论题了,参照了大牛的代码....没办法自己没有能力想出来。

参博地址:http://blog.csdn.net/shiren_Bod/archive/2010/08/04/5787722.aspx

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