高中奥数 2021-11-05

2021-11-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P101 例5）

已知四边形是圆的内接四边形.证明:.

证明

如图,设四边形的外心为,且圆的半径为.

图1

设,,,,则.

不妨设,,则

.

同理,

,

,

则.

即.

同理可证。

所以.

2021-11-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P102 例6）

设、、分别位于的三条边、、上,且将三角形周长三等分,求证:.、、表示三角形三边长.

证明

如图,分别作、在底边上的投影、,则,

图2

同理有,

.

将三式相加,并注意到,即得

.(这步用.)

注 注的证明:

等号成立当且仅当为等边三角形.

2021-11-05-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P103 例7）

(Erdos-Mordell不等式)设为三角形内任意一点,到三边、、的距离分别为,,,并记,,,证明:,等号成立当且仅当为正三角形并且为此三角形的中心.

证明

如图,过点作直线,使得,于是,从而,.

图3

由于,所以有

,

所以.

即,等等.

于是.

第一个等号成立的条件是,即.

以及,.

第二个等号成立的条件是,所以的等号成立条件是为正三角形,且为其中心.