1.1 数据结构

2023/6/7

1.1数据结构

数据元素是数据的基本单位。一个数据元素由若干个数据项组成。数据项又分为简单数据项及符合数据项两种。简单数据项不能再分割，符合数据项由若干个数据项组成。

类型是一组值的集合。抽象数据类型（ADT）用一种类型和定义再该类型上的一组操作来定义。数据结构是抽象数据类型的实现，可以使用二次元组表示； 数据结构=（D,R）

其中，D是数据对象，即数据元素的有限集；R是该数据对象中所有数据元素之间关系的有限集。

1.1线性表

线性表是最简单的一种线性结构，有很广泛的应用，同时也是其他非线性结构的基础。 线性表种各元素的类型是一致的。

由任意元素组成的表称为广义表，广义表是对线性表的扩展，线性表是大纲中数据结构部分的重要内容，对广义表不做要求。

要深入理解线性表的概念，了解线性表基本操作中各参数的含义，正确给出操作的结果，能正确实现基于线性表应用的程序。

1.1.1 线性表的定义和基本操作

1.线性表的定义线性表是最常用且基本的一种数据结构，是由成为元素的数据项组成的一种有限且有序的序列。表中元素可以是任意类型。由n（n≥0）个元素组成的线性表记为（a0,a1,…,an-1）。

其中，a0称为表头，an-1称为表尾。元素的个数n称为表长。时称为空表，记为（）。

线性表各元素的位置关键是确定的。线性表中常使用整数表示各元素的位置，表头a0的位置为0，a1的位置为1，一般地，ai的位置称为i。

2.线性表的基本操作

线性表的基本操作包括：

（1）创建一个空表Create();返回一个空的线性表L。

（2）在表的指定位置插入一个元素Insert(L,i,e):在表L的位置I插入元素e。

（3）删除表中指定位置的元素Delete(L,i):删除表L中位置i的元素。

（4）访问表中指定位置元素GetElem(L,i):返回表L中位置i的元素。

除此之外，还有一下一些操作：

• 判定表空ISEmpth(L):如果表为空返回真，否则返回假。

• 判定表满IsFull(L):如果表已满返回真，否则返回假。

• 求表常length(L):返回表中元素的个数。

• 求表中指定元素的直接前驱Prev(L,e):返回表L中元素e的直接前驱。

• 求表中指定元素的直接后继Next(L,e):返回表L中元素e的直接后继。

  1.1.2线性表的实现

  线性表可以采用不同的储存结构保存，主要存储结构有两种：数组及链表。

  采用数据保存的线性表称为顺序表，这种存储结构称为顺序存储结构或静态存储结构。

  采用指针方式保存的线性表称为链表，相应的存储结构称为链式存储结构或动态存储结构。

  结合两种存储结构的特点，将线性表以动态存储的策略保存在数组中，得到静态链表。

  1. 顺序存储

     顺序存储方式下，线性表采用一维数组保存，采用数组保存的线性表称为顺序表。线性表中各元素一次保存在数组各存储单元中，表 中逻辑上相邻的两个元素，其实际的存储位置也相邻。

     若线性表每个元素占用L个存储单元，线性表中元素ai的存储地址表示为LOC(ai),则有下列关系：

     Loc(ai)=Loc(a0) +i*l

     只要确定了顺序表存储的其实位置（数组首址），根据上式可以立即得到线性表中唯一元素的存储位置。由于数组能够按照下标直接访问元素，所以顺序表可实现随机存取。

     设顺序表元素类型表示为ElemType，使用C语言定义的顺序表如下：

     typedef struct{

     Elemtype * list Array；//指向Elemtype类型数组的指针

     }

typedef struct{
    Elemtype * list Array；//指向Elemtype类型数组的指针
    int length; //数组长度
    int listSize; //数组最大容量
    }SeqList;

数组一经分配，其大小不可改变，数组空间大小由listSize表示，顺序表中当前元素个数保存在length中。

实现顺序表插入Insert(L,i,e)的代码描述为：

Status Insert(Seqlist &L,int i , ElemType e)
{ int k =0;
  if(i<0||i>L.length) return ERROR;
  for(k=L.length;K>i;k--)
      L.listArray[K]=L.listARRAY[k-1];
 L.listArray[k] =e;
 L.length++;
    return OK;
}

实现顺序表删除Delete(L,i,e)的代码描述为

Status Delet(SeqList & L, int i, Elemtype *e)
{ int K= 0;
  if(i<0||i>=L.length)returnERROR;
   * e =L.listARRAY[i];
 for(k=i;k<l.length-1;k++)
     L.listArray[K]=L.listArray[K+1];
 L.length--;
 renturn OK;
    }

顺序表保存在数组中，数组的特点要求数据必须保存在一段连续的地址空间内。在顺序表中插入，删除元素时不可避免地要或多或少的元素移动。在顺序表中插入一个新元素，删除指定位置元素时，最优时间复杂度为O（1），最差时间复杂度和平均时间复杂度均为O(n)。所列的其他基本操作的时间复杂度均为O(1)。由此可见，插入，删除操作的开销较大。

2.链式存储

线性表中的各元素也可以不必保存在一段连续的地址空间中，而是放在任意的存储单元内。为了能方便地找到这些存储单元，采用指针结构将这些存储单元串在一起，形成链表。这种存储方式称为链式存储，采用链式存储结构的线性表称为链表。这样的表示法也称为动态表示法。

链表由一系列的结点构成，每个结点包括数据域和指针域，其中数据域中保存线性表的一个数据元素的信息，指针域中保存指向该数据元素后继结点的指针信息，表尾结点指针域中保存NuLL,表示表的结束。指针也称为链，链表的名称由此得来。

每个结点中除数据域外只包含一个指针域，这样的链表称为单链表。单链表中各元素位置仍然用整数表示，通常使用一个指针（称为表头指针）指向表头元素结点，使用另外一个指针（称为当前工作指针）来只是操作位置，如图1-1所示为一个单链表，指针head指向表头元素，指针P指向操作位置。表尾结点的指针域保存NULL，使用符号向下的括号表示。

为了操作上的方便，常常在单链表的表头添加一个空结点，称为表头结点，得到带表头的单链表,如图1-2所示。

3.线性表的应用

1）多项式操作 多项式是数学经常用到的概念。设有n次一元多项式如下；

Pn(x) =P0 +P1X+P2x2 +…+pnxn

2）freelist(空闲块)管理

多项式中表结点的结构定义如下：

typedf struct Pnode{     //定义一个保存多项式的表的结点
    float coefficient;   //系数
    int exponent;        //指数
    PNode * next;        //下一结点的指针
}

当链表中频繁赠删结点时，很大程度上会影响到运行效率。一是申请，释放空间都会进行系统化调用，二是可能会产生大量的碎片，不方便以后的再分配。

可以在程序中额外建立一个freelist链表，与程序中正常的链表L类型一致。当L 中删除一个结点 Node时，将Node链到freelist 中；而当L 需要一个新结点时，若freelist不空，则将freelist中的结点转移到L 中，仅当freelist中已没有结点时，才真正向系统申请一个新空间。 freelist 的插入与删除都在表头进行，时间复杂度都是O（1）的。freelist只是临时管理程序中用到的空间，空间中的数据没有意义，各块的次序不重要，所以这个表不需要表头结点。它实现的方式与链栈是类似的。

3）静态链表

可以在数组中保存一个链表，这样的链表称为静态链表，如表1-1所示。

data	link
618	4
205	0
103	3
501	1
781	5
910	2

4.线性表两种实现方式的比较。

线性表的两种实现各有特色。

顺序表的缺点是大小不能改变。如果不能预知表中元素最多个数，则分配数组空间就很盲目。数组空间已经分配不论表中元素实际个数有多少，空间全部占用。另外，当有元素的插入及删除时，除在顺序表尾进行操作以外，其他位置的操作都会带来元素的移动，系统开销较大。但它的优点是能够实现随机访问，数组空间全部用来存放数据，没有指针开销。

链表的特点与顺序表不同。它的空间可以随时按需申请，空间大小随元素个数的多少而改变，元素多则占空间打，元素少则占空间少。但每个元素都配有指针开销，所以并不是申请的全部空间均用于保存数据。若当前工作指针已指向操作位置时，元素插入及删除的时间复杂度均为O（1），且不需要数据元素的移动。有些应用中，移动数据元素的开销较大，俩表就是个很好的选择。但链表只能实现顺序访问，时间复杂度为O（n）。

表格1-2列出了在顺序表及单链表实现方式下，几张比较典型操作的对比。

操作、应用	单链表	顺序表	说明
在尾端添加或删除元素	O（n）	O(1)	对单链表，必须遍历整个表。对顺序表，只需赋值
在头部插入或删除元素	O(1)	O(n)	对顺序表，必须将每个元素向后移动一个位置，以将第一个位置腾空。单链表只需调整指针
对关键字进行线性查找	O(n)	O(n)	最坏情形下，必须朝朝整个单链表或顺序表
在有序表的当前位置的插入元素(a)找到插入位置（b）插入元素	O(n)O（1）	O(n)O(log2n)	在单链表中插入，只需要指针调整。对于顺序表，二分查找找到插入位置；然后可能会移动n个元素来腾空单元
从表中删除某个值的所有出现	O（n）	O（n）	对于单链表，重复进行：找到值并调整指针，一直到表尾。对于顺序表，若找到一次值就调整一次元素，则需要O（n2）;若找到值后，调整元素的同时也进行判断，则是O(n)的

1.2 栈，队列和数组

栈，队列都是线性表，并且是操作受阻的线性表。所谓操作受限，是指插入，删除操作的位置不再是线性表中任何合理的地方，而是只局限于线性表的两端。其中，栈只允许在表一端操作，表的另一端及中间位置是不可见的；队列允许在表的两端分别进行操作，中间位置也是不可见的。

数组即是一种数据类型，也是一种存储结构。数据本身也属于线性表的范畴。

1.2.1栈和队列的基本概念

1.栈的基本概念

栈是一种受限的线性表，只允许在线性表的一端进行插入和删除操作。进行操作的一端称为栈顶，另一端称为栈底。插入操作称为入栈（push）,删除操作称为出栈（pop）。入栈和出栈都是O（1）操作。栈的处理方式为后进先出（Last In,First Out,LIFO）。

栈中没有元素时，称为空栈。当栈不空时，允许出栈操作；出栈不满时，允许入栈操作。最后入栈的元素是栈定元素。其所处位置是栈顶，一般地，使用一个变量标记栈顶位置，通常记为top。

栈的特点是后进先出，也可以说是先进后出。不能简单地理解为先入栈的元素一定后出战，后入栈的元素一定先出栈。例如，给定入栈序列1，2，3，4，5，即可以得到5，4，3，2，1的出栈序列，也可以的得到1，2，3，4，5的出栈序列，甚至是3，2，1，4，5这样的出栈序列。元素1比元素5先入栈，1即可以先于5出栈也可以在5之后出栈。

那么如何正确理解后进先出特点呢？这是同时在栈中的元素之间具有的特性。对于栈中的两个元素ai于aj，如果ai先于aj入栈，则ai 一定先于ai出栈。因为入栈于出栈操作是随机的，只要栈不空即可出栈，站不满即可入栈。若元素ai刚入栈后就出栈，在ai之后入栈的元素aj都在ai出栈后出栈，ai与aj不同时在栈中，他们之间就不具备先进后出的特点了。

2.队列的基本概念

队列也是一种受限的线性表，它允许在线性表的一端进行插入，而在另一端进行删除。插入操作称为入队，允许入队的一端称为队尾。删除操作称为出队，允许出队的一端称为队头。

队列中没有元素时，称为空队列。当队列不空时，允许出队操作，正等待出队的元素是队头元素，使用front标记队头位置：当队列不满时，允许入队操作，刚入队的元素是队尾元素，使用rear标记队尾元素后的一个空位置。

队列中出队次序与如对次序永远保持一致，先入队的元素一定先出队。队列的处理方式是先进先出（First In, First Out, FIFO）.

3.双端队列

双端队列结合了栈与队列的特性，在线性表的两端均可以插入及删除。双端队列可以看成是对底线，即两个栈的栈底连在一起，两端分别是两个栈的栈顶，且两个栈底户通。双端队列中从一端入队的元素即允许在本端出队，也允许在另一端出队。

1.2.2 栈和队列的顺序存储结构

1.栈的顺序存储结构

使用数组保存的栈称为顺序栈。

在顺序栈中，入栈及出栈均不需要移动元素，操作的时间复杂度都是O（1）的。

2。队列的顺序存储结构

采用数组作为队列的存储结构时，为避免入队，出队时带来的元素移动，需要采用循环存储的方式。

1.2.3 栈和队列的链式存储结构

顺序表有两个不足之处：第一，元素插入和删除时，都可能导致数组中元素的移动。因为栈与队列只允许在线性表的端点处进行插入和删除，所以避免了数据的移动：第二，顺序表的大小受数组空间的限制。这个问题在顺序栈及循环队列中仍存在。一旦数组分配了空间，栈及队列的最大空间就确定下来。同时保存在栈及队列中的元素个数不能超出数组大小的限制。

当不能预知同时保存在栈活队列中的元素个数时，通常使用链式存储结构。

1.栈的链式存储结构

使用链式保存的栈称为链式栈。栈顶指针top也是表头指针，入栈和出栈均操作在表头位置，所以时间复杂度都是O（1）的。

链式栈实际上是俩表的一个简化版本。

2.队列的链式存储结构。

使用链表保存的队列称为链式队列。队列的操作位置在其两端，队头指针front指向队头元素，队尾指针rear指向队尾元素，入队和出队时，通过两个指针可快速找到操作位置，故入会操作和出队操作的时间复杂度也是O(1)的。

链式队列实际上是带头尾指针的链表的一个简化版本。

1.2.4栈和队列的应用。

栈的应用非常广泛，例如，使用键盘输入时调用回退键，在程序中调用跟其他方法，中缀表达式转变为后缀表达式，后缀表达式的计算，表达式中括号的匹配检查，迷宫程序的实现，树的遍历，图的深度优先搜索等。

1.表达式中括号的匹配检查

编译程序设计程序中表达式的结果时，要先检查表达式的正确性，其中的一项是检查括号匹配的正确性。一对括号的左半部分称为开活号，右半部分称为闭括号，若开括号与闭括号的个数相等且且套正确，表示括号匹配正确：否则匹配错误。检查过程中使用栈来保存开阔好，从左往右依次扫描表达式中的符号ch,并进行判断：

• 若ch是开阔好，ch入栈；
• 若ch是闭括号，则与栈顶符号比较，若属于同一类（例如栈顶是’‘{’‘且ch =’'}"）"则出栈（本对括号匹配成功），继续读入下一符号；否则报告出错；
• 当ch是表达式结束符时，若栈为空，表达式括号匹配正确；否则匹配错误；
• 若ch是其他符号，忽略。

2.计算后缀表达式

日常书写习惯中，算数表达式常写为中缀（infix）形式，即二元运算符放在它的两个操作数的中间，例如，4+5，这样的表达式称为中缀表达式。

3.二叉树的层序遍历

二叉树的层序遍历过程中使用队列保存当前正遍历的层及其下一层的相关结点。

4.对顶栈

可以使用一个一维数组来同时存储两个栈，数组两端分别是两个栈的栈底，每个站从各自的栈底向中间延申。

这样的两个栈称为对顶栈，数组元素的个数去连个栈中同时保存的最大值。在对顶栈中惊醒插入，删除操作时，两个栈顶的变化方向是相反的，并且判断栈满的方式也与普通的顺序栈不同，当共用空间没有时，两个站均满。

5.双端队列

扩展队列的定义，减少其操作限制，允许在队列的两端都可进行瑞对及出队操作，这样的队列称为双端队列。实际上，双端队列可以堪称是一对对底栈。

若一端允许进入队及出队操作，另一端仅允许出队操作，这样的队列称为输入受限的双端队列；类似地，若一端允许进行入队及出队的操作，另一端仅允许入队操作，这样的ui队列称为输出受限的双端队列。

1.2.5 特殊矩阵的压缩存储

n阶举证采用二维数组存储。C及C++语言中，采用行主序的方式保存数组元素。二维数组也以线性方式保存在一端连续空间中，即先依次保存矩阵的第一行元素，在依次保存矩阵的第二行元素，依次类推直到保存矩阵的第N行元素。

1.对称矩阵的压缩存储

对于N阶对称矩阵民企元素以对角线为界对称相等，因此N2个元素仅需要N(N+1)/2个存储单元。

2.三角矩阵的压缩存储

3.三对角矩阵的压缩存储

4.稀疏矩阵的压缩存储

稀疏矩阵的存储可采用三元组法及十字链表法

十字链表法：稀疏矩阵同一行中的非零元素组成一个单循环链表，各行对应的链表的表头也组陈工艺隔单循环链表；类似地，同一列中的非零元素组成一个单循环链表。

链表中既有横向的指针，也有钟祥的指针，故称为十字链表。