卡尔曼滤波与组合导航原理（八）遗忘滤波

函数模型
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}_k={\mathbf{\Phi }}_{klk-1}{\mathbf{X}}_{k-1}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{W}}_{k-1}\\ {\mathbf{Z}}_k={\mathbf{H}}_k{\mathbf{X}}_k+{\mathbf{V}}_k\end{array}$$
随机模型
$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k\right]=0,& \mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k{\mathbf{W}}_j^{\mathrm{T}}\right]=s^{N-k+1}{\mathbf{Q}}_k{\delta }_{kj}j,k\le N\\ \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_k\right]=0,& \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_k{\mathbf{V}}_j^{\mathrm{T}}\right]=s^{N-k}{\mathbf{R}}_k{\delta }_{kj}\\ \mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k{\mathbf{V}}_j^{\mathrm{T}}\right]=0& \end{array}$$
其中：渐消因子 $s\ge 1$，等于 $1$ 时与普通的Kalman滤波相同。现在是 $N$ 时刻，$k$ 越小就是越以前，$s^{N-k}$ 越大，噪声前面乘的系数就越大，越以前的量测和系统越不可靠，慢慢遗忘；$k=N$ 就是现在，此时 $s^{N-k}$ 为 $1$。

加了 $s$ 之后模型还是满足Kalman滤波条件，噪声还是高斯白噪声，只是时变了，在 $N$ 时刻的Kalman滤波如下，其实就是多了 $s$ ：
$$\{\begin{array}{l}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^N={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}^N\\ {\mathbf{P}}_{k/k-1}^N={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{P}}_{k-1}^N{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{s}^{N-k}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{K}}_k^N={\mathbf{P}}_{k/k-1}^N{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{H}}_k{\mathbf{P}}_{k/k-1}^N{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}+s^{N-k}{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k^N={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^N+{\mathbf{K}}_k^N\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^N\right)\\ {\mathbf{P}}_k^N=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k^N{\mathbf{H}}_k\right){\mathbf{P}}_{k/k-1}^N\end{array}$$
增益计算回路改写

提取出 $s^{N_k}$
$$\begin{array}{l}{s}^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_{k/k-1}^N={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}s\cdot s^{-[N-(k-1)]}{\mathbf{P}}_{k-1}^N{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{K}}_k^N=s^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_{k\mid k-1}^N{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{H}}_k{s}^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_{kkk-1}^N{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}+{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}\\ s^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_k^N=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k^N{\mathbf{H}}_k\right)s^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_{k\mid k-1}^N\end{array}$$
将红色部分合并：令 ${\mathbf{P}}_k^{\ast }\triangleq s^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_k^N,{\mathbf{P}}_{k/k-1}^{\ast }\triangleq s^{-(N-k)}{\mathbf{P}}_{k/k-1}^N$ ，得
$$\{\begin{array}{l}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^{\ast }={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}^{\ast }\\ {\mathbf{P}}_{k/k-1}^{\ast }={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}\left(s{\mathbf{P}}_{k-1}^{\ast }\right){\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{K}}_k^{\ast }={\mathbf{P}}_{k/k-1}^{\ast }{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{H}}_k{\mathbf{P}}_{k/k-1}^{\ast }{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}+{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k^{\ast }={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^{\ast }+{\mathbf{K}}_k^{\ast }\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}^{\ast }\right)\\ {\mathbf{P}}_k^{\ast }=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k^{\ast }{\mathbf{H}}_k\right){\mathbf{P}}_{k/k-1}^{\ast }\end{array}$$
改写的式子中就只有一个 $s$ ，用起来很简单，对上一时刻的 $P$ 阵乘以一个标量 $s$ 就行。

遗忘效果的理解

$s$ 取值越大，对以前信息的利用更小