大步小步法

BSGS

大步小步算法(baby step giant step,BSGS)，是一种用来求解离散对数(即模意义下对数)的算法，即给出$a^x\equiv b(\mathrm{mod}m)$中$a,b,m$的值(这里保证a和m互质)，求解x。

实际上，大步小步算法就是对暴力枚举的一个简单的改进，使用了类似meet in the middle的思想。我们把$x$拆成$At-B$，拆分成这种形式是为了后面移项后指数上能是正的，然后原式就可以化为$a^{At-B}\equiv b(\mathrm{mod}m)$，即$a^{At}\equiv b{a}^B(\mathrm{mod}m)$。对于这个式子，如果我们固定一个$t$值的话，随着$B$的取值不同$A$的取值也会跟着变化（反过来说也一样）。然后我们预计算出右侧所有可能的取值并存下来，接着计算出左边可能的值，当发现某个值已经在右边出现过，这时的$At-B$ 就是我们要求的$x$ 。

B可能的取值有$m\mathrm{mod}t$个，A可能的取值有$\lfloor m/t\rfloor$个，不难看出，取$t=\lceil \sqrt{m}\rceil$是最好的。此时取$A,B\in [1,t]$可以保证把$x\in [1,m-1]$全部枚举一遍。时间复杂度为$O(\sqrt{m})$。

至于如何判定右边的数有没有出现过，用哈希表是最简单的（STL中的unordered_map是用哈希表实现的，一般可以直接使用），如果用map，复杂度会多一个log 。下面给出洛谷上的模板题和实现代码。
P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

ll BSGS(ll a, ll b, ll m)
{
    unordered_map<ll, ll> hs;
    ll cur = 1, t = sqrt(m) + 1;
    for (ll B = 1; B <= t; B++)
        {
            cur = cur * a % m;
            hs[b * cur % m] = B;
        }
    ll now = cur; // 此时cur为a^t
    for (int A = 1; A <= t; A++)
        {
            auto it = hs.find(now);
            if (it != hs.end())
                return A * t - it->second;
            now = now * cur % m;
        }
    return -1;
}

扩展BSGS

上面的算法只针对$a$和$m$互质的情形，如果不互质，又该如何计算？我们尝试把它转化成$a$和$m$互质的情形。

若$a$和$m$不互质，则存在他们的最大公因数$d=gcd(a,m)$。将最大公因数除去即可转化成互质的情况，即$a^x\equiv b(\mathrm{mod}m)$都除以$d$，得到$\frac{a}{d}{a}^{x-1}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{mod}\frac{m}{d})$，将$\frac{a}{d}$记作系数$k$。若$d$不能整除$b$，则无解；反之，就能直接用大步小步法求解了（左侧多了一个系数，但这显然影响不大，把大步小步算法稍作修改即可）。需要注意的是，此时用大步小步法求出来的是$x-1$，最后结果还需要加一才行。

参考代码如下：

ll exBSGS(ll a, ll b, ll m)
{
    a %= m;
    b %= m;
    if (b == 1 || m == 1)
        return 0;
    ll d = gcd(a, m);
    if (b % d != 0)
        return -1;
    ll k = a / d;
    b /= d;
    m /= d;
    unordered_map<ll, ll> hs;
    ll cur = 1, t = sqrt(m) + 1;
    for (ll B = 1; B <= t; B++)
    {
        cur = cur * a % m;
        hs[b * cur % m] = B;
    }
    ll now = k * cur % m; // 此时cur为a^t，注意乘上系数
    for (int A = 1; A <= t; A++)
    {
        auto it = hs.find(now);
        if (it != hs.end())
            return A * t - it->second + 1; // 别忘了加一
        now = now * cur % m;
    }
    return -1;
}