怎样分析算法的复杂度

• 前言

     当我们在利用算法实现解决某一个问题时，如果这个算法是正确的，那么通常要去思考这个算法需要的时间和空间资源是多少的问题，如果一个算法需要的时间很长，那么这种算法实际上就很难有用处，同样的如果一个需要很大内存的算法在实际中也是不能使用的。

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一、什么是好的算法？

这里我们要明确一点：好的算法 和 更优的算法 不能混为一谈；一个更优的算法消耗更少的时间、更少的空间，而我们作为初学者，应该更多的去考虑怎么写出一个好的算法，而所谓好的算法要满足这两个性质：

• 1、准确性（任何情况下能彻底解决这个问题）需要对真实数据的大量测试；
• 2、健壮性 编写的程序在任何情况下都不能崩溃 也要大量测试； 

不过事实上我们并没有那么多的数据量，并且用大量数据去测试是一个很烧钱的事情，我们现阶段能做到的，就是再给定的条件下，尽肯能多的解决问题的每一种情况，只有当我们写的程序能够保证解决给定的问题之后，我们会才要去考虑程序的效率；

二、什么是效率？

我们说了，一个更优的算法就是在好的算法的之上提高了效率：我们习惯用时间复杂度和空间复杂度来描述这个“效率”；而所谓时间复杂度就是一个程序运行时间；空间复杂度就是程序占用的内存大小；

三、关于复杂度

关于复杂度的分析，我们可以从理论上和实际来分析；从实际上分析就需要大量的数据去测试，对于现在的我们来说，更需要掌握的是从理论上来分析，也就是事前评估法：不需要数据又能大概的评估出时间复杂度和空间复杂度：

• 时间复杂度：时间（语句）频度T(n) 与语句的（计算）执行次数成正比，n就是问题的规模，找到T(n)随着问题规模n变化的规律就是时间复杂度；
• 空间复杂度：算法当中所占用的临时存储空间大小（也就是额外需要的空间）；

现在的设备在一般问题上空间占用绰绰有余，也就是说在一般情况下，我们更加注重的是时间复杂度而不是空间，也就有以空间换时间的思想；

主流上有四种角度来分析时间复杂度： 最好 、最坏 、平均 、摊均。其中最好和最坏都是在理想状态下的情况；

• 最好：比如说要查找的元素恰好在第一个；
• 最坏：比如说要查找的元素恰好在最后一个；

虽然最好和最坏都是极端情况，但对于我们而言也是有参考价值的；最好的意义就是让我们在设计算法时尽可能的接近最好（如KMP算法）；而最坏的意义就不用多说了，我们平所说的时间复杂就是在最坏的情况下的分析；

• 而平均就是求加权平均值，公式中，第一个n表示最后能找到的状态，第二个n表示永远都找不到的状态；

•  至于摊均，这里我们暂时不做描述；

四、分析复杂度的方法

我们通常用大O法来表示算法的时间性能T(n) = O(f(n))，而在用大O法的时候我们只需要关心数量级的最高次幂，即眼光放在增长率上面（就是高数中极限的思想；

 对fn的分析我们只需要遵照下面的原则一步步分析就可以了： 

1. 对于循环结构，其主要运行时间在迭代中，只要找出算法中的基本语句（算法中执行次数最多的那一条语句） 通常是最内层循环的循环体；
2. 对于顺序结构，大O法求和法则是找最大值；
3. 对于选择结构 主要耗费时间就是在else/then语句上； 在算法的角度上，不细分的去看依旧看成O(1)；
4. 对于一些简单的输入输出和赋值，近似认为是O(1)；
5. 对于复杂的算法，把它拆分成能计算的部分，用大O的加法和乘法法则去算；

空间复杂度没什么可以多说的，只要记住空间复杂度是指额外的空间就行了；