模拟退火算法（附简单案例及详细matlab源码）
作者：非妃是公主
专栏：《智能优化算法》
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个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩
文章目录
- 专栏推荐
- 序
- 一、概论
- 二、物理退火
- 1. 加温过程
- 2. 等温过程
- 3. 降温过程
- 三、模拟退火原理
- 四、模拟退火的优点
- 五、算法具体流程
- 1. 整体流程
- 2. 细节处理
- Ⅰ. 状态产生函数
- Ⅱ. 初始温度
- Ⅲ. 退温函数
- Ⅳ. Markov 链长度
- Ⅴ. 算法终止准则
- 六、仿真实例：模拟退火求解函数最小值
- 1. 题目
- 2. 分析
- 3. matlab求解
- 4. 求解结果及分析
- 七、模拟退火的一些改进方向
- the end……
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序
对于一个问题，解决他的第一步是建立模型，利用数学的方法，将问题抽象成一个数学模型（可能是一个函数，一个算法，一个方程……）。第二步，就是对这个问题进行求解，也叫做模型求解。
但对于模型求解来讲，不同的模型有着不同大小的难度。传统的算法，比如梯度下降，很可能会陷入局部最优解等问题，对于更加全局性的最优解搜索，智能优化算法有着很好的效果。而模拟退火算法，就是智能优化算法中的一种，有着很好的效果。
模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Metropolis等人于 1953 年提出。1983 年Kirkpatrick等人第一次使用模拟退火算法求解组合优化问题后，它就发表在了 Science 上。1直到今天，它依然被广泛使用，这篇文章将详细介绍模拟退火算法的基本原理，以及matlab的代码实现。
一、概论
模拟退火算法其实就是一个类似于仿生学的算法，模仿的就是物理退火的过程。我们炼钢的时候，如果我们急速冷凝，这时候的状态是不稳定的，原子间杂乱无章的排序，能量很高。而如果我们让钢水慢慢冷凝，很缓慢的降温，那么这个时候的状态就是很稳定的，各个分子都趋向于自己能量最低的位置。
而模拟退火算法，恰恰就是利用了物理退火这一过程的原理，求解一个优化目标（目标函数）的最小值。
二、物理退火
如果想说清楚模拟退火，必然绕不过物理退火！
1. 加温过程
增强粒子热运动，使其偏离平衡位置。当温度足够高时，固体将溶解为液体，从而消除系统原先可能存在的非均匀态，使随后进行的冷却过程以某一平衡态为起点。溶解过程于系统的能量增大过程相联系，系统能量也随温度的升高而增大。
2. 等温过程
通过物理学知识得知，对于与周围环境交换热量而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝着自由能降低的方向进行；当自由能达到最低时，系统达到平衡态。
3. 降温过程
随着温度降低，分子热运动减弱，趋向有序，系统能量逐渐降低，从而得到了低能量的晶体结构。
三、模拟退火原理
而模拟退火算法，就是要通过如上3个部分的操作，获得低能量的晶体结构（最优解）。
物理退火与模拟退火中的各个状态对应如下：
| 物理退火 | 模拟退火 |
|---|---|
| 粒子状态 | 每个状态对应一个（可行）解 |
| 能量最低态 | 最优解 |
| 溶解过程 | 设定初温（设定参数T的值） |
| 等温过程 | 一个温度下，多次采样（Metropolis采样过程） |
| 冷却 | 控制参数下降 |
| 能量 | 目标函数 |
主要思想，在搜索区间进行随机游走（通过生成随机数实现），再利用Metropolis抽样准则，使随机游走逐渐收敛于局部最优解。在这里，温度是一个重要的控制参数，这个参数的大小控制了随机过程向局部或全局最优解移动的快慢。具体的过程如下。
首先，定义一个 p p p：
p = e − E 2 − E 1 T p=e^{-\frac{E_2-E_1}{T}} p=e−TE2−E1
这个公式表示，系统从 E 1 E_1 E1变化到 E 2 E_2 E2，其概率为 p p p，就是上述公式左边的部分。
如果 E 2 < E 1 E_2
否则，以上述的概率，接受这个较坏的结果 E 2 E_2 E2。注意，这里的原则，不同于贪心，每次选择最好的，而是有一定的概率接受坏一些的。（这个概率受到能量差和温度两个因素的影响）
p ( 1 → 2 ) = { 1 E 2 < E 1 e − E 2 − E 1 T E 2 > E 1 p(1\rightarrow2)= \begin{cases} 1& E_2
这样通过一定的迭代次数，我们就会找到一个比较好的解了。
四、模拟退火的优点
总结一下模拟退火的优点如下：
- 以一定的概率接受恶化解。看似在接受恶化解，其实是寻找了全局最优解。
- 引进算法控制参数——温度。温度的引进，使得算法更加智能、灵活。在前期，进行跳跃搜索，更容易跳出局部最优解，提高搜索的全局性。在后期，进行幅度较小的搜索，更容易收敛。
- 对目标函数要求少。模拟退火算法其实是一种搜索或者说枚举的方法，我们经过大量的实验，最终得到最优解（或者一定程度上的较优解）。由于这种做法，因此对目标函数的要求很低。不需要依赖什么，直接猜就好。
五、算法具体流程
学习的过程是广度优先，层层深入的，前面大致了解了模拟退火算法的原理及思想，下面我们看一看模拟退火算法的具体算法流程。
1. 整体流程
- 初始化温度 T 0 T_0 T0，初始解状态 X 0 X_0 X0（算法迭代起点）、每个 T T T值的迭代次数 L L L（也叫做Markov 链长度，就是在同一个温度下，我们猜测的次数）。
- 对 k = 1 , … , L k=1, …, L k=1,…,L做第（3）至第（6）步；
- 产生新解 X ′ X' X′；
- 计算增量 Δ E = E ( X ′ ) − E ( X ) ΔE=E(X')-E(X) ΔE=E(X′)−E(X)，其中 E ( X ) E(X) E(X)为评价函数（越低越好）；
- 若 Δ E ＜ 0 ΔE＜0 ΔE＜0，则接受 X ′ X' X′作为新的当前解，否则以概率 e − Δ E T e^{\frac{-ΔE}{T}} eT−ΔE接受 X ′ X' X′作为新的当前解；
- 如果满足终止条件，则输出当前解为最优解，结束程序；
- T T T逐渐减小，且 T → 0 T\rightarrow 0 T→0，然后转第 2 步。
流程图如下：
2. 细节处理
Ⅰ. 状态产生函数
主要就是通过在邻域内随机进行选择产生的。
Ⅱ. 初始温度
初始温度对于算法的影响较大，而且效果的好坏与求解问题的求解空间有关。初温越大，获得高质量解的可能性越高，但是相应的时间也就越长，具体可以在此处进行取舍。
一种很好的做法是，可以均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差作为初温。
-
这样，如果方差越大，证明该问题越有可能陷入到局部最优解（多峰型优化），因此初温较高，防止陷入。
-
如果方差很小，说明该问题不容易陷入局部最优(单峰型优化)，因此，初温较低，可以快速收敛。
Ⅲ. 退温函数
退温函数即温度更新函数，用于在外循环中修改温度值。目前，最常用的温度更新函数为指数退温函数，即 T ( n + 1 ) = K × T ( n ) T(n+1)=K×T(n) T(n+1)=K×T(n)，其中 0 ＜ K ＜ 1 0＜K＜1 0＜K＜1， K K K为一个非常接近于1的常数。
Ⅳ. Markov 链长度
Markov 链长度是在等温条件下进行迭代优化的次数，其选取原则是在衰减参数 T T T 的衰减函数已选定的前提下，还要产生随机数的次数，一般 L 取100～1000。
Ⅴ. 算法终止准则
算法停止的条件。常用的有，温度降低到一定的阈值结束，迭代一定的次数后结束，最优值连续保持不变（或者变化值 < δ <\delta <δ）时停止搜索。
六、仿真实例：模拟退火求解函数最小值
1. 题目
计算函数 f ( x ) = ∑ i = 1 n x i 2 ( − 20 < = x i < = 20 ) f(x)=\sum_{i=1}^n x_i^2 (-20<=x_i<=20) f(x)=∑i=1nxi2(−20<=xi<=20)的最小值，其中个体 x x x的维数为 n = 10 n=10 n=10。
2. 分析
这时一个平方和函数，只有一个极小值 x = ( 0 , 0 , . . . , 0 ) x=(0,0,...,0) x=(0,0,...,0)，理论最小值 f ( 0 , 0 , . . . , 0 ) = 0 f(0,0,...,0)=0 f(0,0,...,0)=0。
Markov链长度初始化为 L = 200 L=200 L=200，衰减参数设置为0.998，补偿因子为 S = 0.01 S=0.01 S=0.01，初始温度 T = 100 T=100 T=100，容差为 Y Z = 1 × 1 0 − 8 YZ=1\times 10^{-8} YZ=1×10−8（用于判断结束条件，如果最优值连续变化小于 Y Z YZ YZ，那么就终止搜索，输出这个较优解，其它参数上边都已经提到过了）；随机产生初始解，并计算目标函数值。
3. matlab求解
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%模拟退火算法解决函数极值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all; %清除所有变量
close all; %清图
clc; %清屏
D=10; %变量维数
Xs=20; %上限
Xx=-20; %下限
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%冷却表参数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
L = 200; %马可夫链长度
K = 0.998; %衰减参数
S = 0.01; %步长因子
T=100; %初始温度
YZ = 1e-8; %容差
P = 0; %Metropolis过程中总接受点
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%随机选点 初值设定%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx)+Xx;
PreBestX = PreX;
PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx)+Xx;
BestX = PreX;
%%%%%%%%%%%每迭代一次退火一次(降温), 直到满足迭代条件为止%%%%%%%%%%%%
deta=abs(func1(BestX)-func1(PreBestX));
while (deta > YZ) && (T>0.001)
T=K*T;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%在当前温度T下迭代次数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=1:L
%%%%%%%%%%%%%%%%%在此点附近随机选下一点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
NextX = PreX + S* (rand(D,1) *(Xs-Xx)+Xx);
%%%%%%%%%%%%%%%%%边界条件处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for ii=1:D
if NextX(ii)>Xs | NextX(ii)<Xx
NextX(ii)=PreX(ii) + S* (rand *(Xs-Xx)+Xx);
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%是否全局最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
if (func1(BestX) > func1(NextX))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%保留上一个最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
PreBestX = BestX;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%此为新的最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
BestX=NextX;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Metropolis过程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
if( func1(PreX) - func1(NextX) > 0 )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受新解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
PreX=NextX;
P=P+1;
else
changer = -1*(func1(NextX)-func1(PreX))/ T ;
p1=exp(changer);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受较差的解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
if p1 > rand
PreX=NextX;
P=P+1;
end
end
trace(P+1) = func1(BestX);
end
deta = abs(func1(BestX) - func1(PreBestX));
end
disp('最小值在点:');
BestX
disp( '最小值为:');
func1(BestX)
figure
plot(trace(2:end))
xlabel('迭代次数')
ylabel('目标函数值')
title('最优解变化曲线')
其中，目标函数（适应度函数）fun1的定义如下：
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%适应度函数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function result=func1(x)
summ=sum(x.^2);
result=summ;
4. 求解结果及分析
求解的适应度变化曲线如下：
可以看到，随着迭代次数的增加，目标函数值下降速度还是很快的，说明算法收敛速度较好。
最终搜索结果如下：
可以看到，我们在理论最优解 0 附近找到了近似最优解 0.0103，求解效果还是不错的。
继续运行代码，求解结果如下：
可以看到求解过程以及最终的结果都不太相同，因此，对于模拟退火这种启发式智能优化算法，求解结果是有一定随机性的。但是，会随着迭代次数的增加，越发趋于稳定。
七、模拟退火的一些改进方向
- 增加记忆功能
- 增加升温或重升温过程。
- 对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优状态，而不是标准模拟退火算法的单次比较方式。
- 与其他搜索机制的算法（如遗传算法、免疫算法等）相结合。可以综合其他方法的优点，提高运行效率和求解质量。2
the end……
模拟退火算法到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！
我是Cherries，一位计算机科班在校大学生，写博客用来记录自己平时的所思所想！
内容繁杂，又才疏学浅，难免存在错误，欢迎各位大佬的批评指正！
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注：本文由
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Kirkpatrick S,Gelatt C,Vecchi M.Optimization by simulated Anealing.Science,1983(220):671-680. ↩︎
包子阳,智能优化算法及其matlab实例.电子工业出版社. ↩︎