游戏王概率查表

2021-09-15 修复1.4公式错误(0A0B1+壶不成立)；补充概率表1.4
2021-09-12 表1.1嵌入1.3
2021-09-08 补充概率表 1.3
2021-08-22 补充概率表 1.1, 1.2; 修正1.2简化公式错误

最近有在吹逼游戏王相关，强互动的中速策略为主的环境比较能提起兴致，虽然新冠坐牢遥遥无期，但人还是要有梦想，没事做做环境分析。随风旅鸟这个策略从发售后就上位数寥寥，日本“权威”排表中稳定二线开外，必然是有其致命短板，第一直觉是系统安定性的问题（包含系统初动率和抗压两个维度），而初动率就达不到环境平均水平，抗压方面展开链条每个环节都吃无效系，没有单卡补点，只能依赖抹杀、月书这类系统外对抗牌，系统虽然不大（14张左右）但初动率补助依靠大量壶压缩卡组（系统能搭载所有种类壶是优点，但不得不投入就是缺点了，尤其对后手阻抗上手率毫无帮助反而挤占其卡位，已经不是Hoban的无脑3Upstart Goblin的时代了），系统外卡位相比环境其他中速策略并没有优势。就系统初动率的问题，台北提供了一个思路，压缩围绕场地的2卡combo相关组件，投入小世界现象补助知更单卡初动的思路，我觉得是有其先进性的。小世界能联结系统内和系统外形成一个新的卡片集群，作为新卡的可能性是尚待开发的。但小世界本质也是2卡combo，需要投入特定中介来扩展小世界的配对范围，有优化手牌结构的作用但cost1手的代价会影响其他战术目标的达成。光空口白话列举优劣是很难得出有效的结论的，还是需要将不同构筑投射到同一的测度空间进行直接比较，从点到面建构出一个更直观的认识。

1 概率表

先把一些常见的组合情况做个列举，后面案例分析时会引用。

1.1 起手单卡

D = deck size，

H = hand size，先手5，后手6

前提

一个目标卡片门类投入n张

P[起手1+] =

= 1 - P[起手0] =

n	prob
1	12.50%
2	23.72%
3	33.76%
4	42.71%
5	50.66%
6	57.71%
7	63.93%
8	69.40%
9	74.18%
10	78.34%

1.2 起手2卡combo

前提

两个目标卡片门类（A和B），各投入n和m张

P[起手各1+] =

$\frac { {\color{blue}\sum}_{i=1}^{\min(n,H)} {\color{blue}(} \binom{n}{i} \cdot {\color{red}\sum}_{j=1}^{\min(m,H-i)} {\color{red}(} \binom{m}{j} \cdot \binom{D-n-m}{H-i-j} {\color{red})} {\color{blue})} } {\binom{D}{H}}$

= 1 - P[起手0A 1+B] - P[起手1+A 0B] - P[起手0A 0B]

暂不考虑的情况

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

在同样卡位(n + m)的情况下，尽可能选择对角线上的组合( )来最大化概率

1.3 壶补助单卡起手

前提

目标卡片门类投入n张
壶投入u张
- 效果翻/抽V张

P[前H张中0目标卡1+壶，后V张中1+目标卡] =

$\frac { \binom{n}{0} \cdot {\color{blue}\sum}_{i=1}^{\min(u,H)} {\color{blue}(} \binom{u}{i} \cdot \binom{D -n-u}{H-i} \cdot {\color{red}\sum}_{j=1}^{\min(n,V)} {\color{red}(} \binom{n}{j} \cdot \binom{D-H-n}{V-j} {\color{red})} {\color{blue})} } {\binom{D}{H+V} \cdot \binom{H+V}{H} = \binom{D}{H} \cdot \binom{D-H}{V}}$

底数两种算法是一样的，所以用等号标注
- 取(H+V)张，选其中H张为前H张，剩下自然为后V张
- 先取H张，然后从剩余的(D-H)张中取V张
暂时想不出简化公式（懒

1.3.1 强金/强贪 (v=2)

n \ u	0	1	2	3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.3.2 强谦/金谦 (v=3)

n \ u	0	1	2	3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.3.3 金谦 (v=6)

n \ u	0	1	2	3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

真滴强，3-3就能达到10%的补助，注意这不光是对单一战术目标的提升，而是全局buff
壶的共同弱点，后攻无法补助手坑上手率，但可以补助解场牌
目标卡投入量超过5时，补助效率开始衰减，要结合表1.1来看

1.4 壶补助2卡combo起手

前提

两个目标卡片门类（A和B），各投入n和m张
壶投入u张
- 效果翻/抽V张

P[前H张中0A 1+B 1+壶，后V张中1+A] + P[前H张中1+A 0B 1+壶，后V张中1+B] =

$\frac { \binom{n}{0} \cdot {\color{blue}\sum}_{i=1}^{\min(u,H)} {\color{blue}(} \binom{u}{i} \cdot {\color{red}\sum}_{j=1}^{\min(m,H-i)} {\color{red}(} \binom{m}{j} \cdot \binom{D-n-m-u}{H-i-j} \cdot {\color{green}\sum}_{k=1}^{\min(n,V)} {\color{green}(} \binom{n}{k} \cdot \binom{D-H-n}{V-k} {\color{green})} {\color{red})} {\color{blue})} } {\binom{D}{H+V} \cdot \binom{H+V}{H} = \binom{D}{H} \cdot \binom{D-H}{V}} \\ + \frac { \binom{m}{0} \cdot {\color{blue}\sum}_{i=1}^{\min(u,H)} {\color{blue}(} \binom{u}{i} \cdot {\color{red}\sum}_{j=1}^{\min(n,H-i)} {\color{red}(} \binom{n}{j} \cdot \binom{D-n-m-u}{H-i-j} \cdot {\color{green}\sum}_{k=1}^{\min(m,V)} {\color{green}(} \binom{m}{k} \cdot \binom{D-H-m}{V-k} {\color{green})} {\color{red})} {\color{blue})} } {\binom{D}{H+V} \cdot \binom{H+V}{H} = \binom{D}{H} \cdot \binom{D-H}{V}}$

两项仅仅交换了n和m的位置
暂时想不出简化公式（懒

1.4.1 强金/强贪 (v=2)

1.4.1.1 投入1枚 (u=1)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.1.2 投入2枚 (u=2)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.1.3 投入3枚 (u=3)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.2 强谦/金谦 (v=3)

1.4.2.1 投入1枚 (u=1)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.2.2 投入2枚 (u=2)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.2.3 投入3枚 (u=3)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.3 金谦 (v=6)

1.4.3.1 投入1枚 (u=1)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.3.2 投入2枚 (u=2)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.4.3.3 投入3枚 (u=3)

n \ m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2 环境策略初动分析

TODO