分拆数简介
分拆数是对正整数 n n n 进行无序分拆的方案数。
举个例子，对 5 5 5 进行分拆，有以下几种方案。
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1+1+1+1+1 1+1+1+1+1
- 2 + 1 + 1 + 1 2+1+1+1 2+1+1+1
- 2 + 2 + 1 2+2+1 2+2+1
- 3 + 1 + 1 3+1+1 3+1+1
- 3 + 2 3+2 3+2
- 4 + 1 4+1 4+1
- 5 5 5
如何求分拆数呢？
方法
前置知识：生成函数，多项式科技。
考虑选若干 i i i，那么它们的和是 i i i 的倍数或 0 0 0。所以可以写出生成函数 ∑ j = 0 ∞ x i j \sum\limits_{j=0}^{\infty}x^{ij} j=0∑∞xij
因为 1 1 − x = ∑ j = 0 ∞ x j \dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}x^j 1−x1=j=0∑∞xj，把 x x x 整体替换为 x i x^i xi，就得到 1 1 − x i ∑ j = 0 ∞ x i j \dfrac{1}{1-x^i}\sum\limits_{j=0}^{\infty}x^{ij} 1−xi1j=0∑∞xij
如果选多个数，那么就是把 1 ∼ n 1\sim n 1∼n 对应的生成函数乘起来。
设 A ( x ) A(x) A(x) 表示 x x x 的分拆数，则 A ( x ) = 1 ∏ i = 1 ∞ ( 1 − x i ) A(x)=\dfrac{1}{\prod\limits_{i=1}^{\infty}(1-x^i)} A(x)=i=1∏∞(1−xi)1
直接求这个 A ( x ) A(x) A(x) 是很慢的，我们要优化它。
两边取对数得
ln A ( x ) = − ∑ i = 1 ∞ ln ( 1 − x i ) \ln A(x)=-\sum\limits_{i=1}^{\infty}\ln(1-x^i) lnA(x)=−i=1∑∞ln(1−xi)
设 f ( x ) = − ∑ i = 1 ∞ ln ( 1 − x i ) f(x)=-\sum\limits_{i=1}^{\infty}\ln(1-x^i) f(x)=−i=1∑∞ln(1−xi)
对 f ( x ) f(x) f(x) 求导得
f ′ ( x ) = ∑ i = 1 ∞ i x i − 1 1 − x i = ∑ i = 1 ∞ i x i − 1 ∑ j = 0 ∞ x i j = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 0 ∞ i x i ( j + 1 ) − 1 = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ i x i j − 1 \begin{aligned} f'(x)&=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{ix^{i-1}}{1-x^i}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\infty}ix^{i-1}\sum\limits_{j=0}^{\infty}x^{ij}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}ix^{i(j+1)-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}ix^{ij-1}\\ \end{aligned} f′(x)=i=1∑∞1−xiixi−1=i=1∑∞ixi−1j=0∑∞xij=i=1∑∞j=0∑∞ixi(j+1)−1=i=1∑∞j=1∑∞ixij−1
所以 f ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ x i j j = ∑ i = 1 ∞ x i ∑ d ∣ i 1 d f(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\dfrac{x^{ij}}{j}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}x^i\sum\limits_{d\mid i}\dfrac{1}{d} f(x)=i=1∑∞j=1∑∞jxij=i=1∑∞xid∣i∑d1
容易观察到求出全部系数的时间复杂度为 O ( n ln n ) O(n\ln n) O(nlnn)
又有 A ( x ) = e f ( x ) A(x)=e^{f(x)} A(x)=ef(x)
用欧拉筛求出 f ( x ) f(x) f(x) 的系数后，再用多项式 exp \exp exp 求答案即可。
总的时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
例题
LOJ6268 分拆数
板题，代码如下：
#include建议阅读我的下一篇博客再谈分拆数