HDU3595 GG and MM

题目描述

GG and MM like playing a game since they are children. At the beginning of game, there are two piles of stones. MM chooses a pile of stones first, which has x stones, and then she can choose a positive number k and remove kx stones out from the other pile of stones, which has y stones (I think all of you know that y>=kx - -!). Then it comes the turn of GG, followed the rules above-mentioned as well. When someone can’t remove any stone, then he/she loses the game, and this game is finished.
Many years later, GG and MM find this game is too simple, so they decided to play N games at one time for fun. MM plays first, as the same, and the one on his/her turn must play every unfinished game. Rules to remove are as same as above, and if someone cannot remove any stone (i.e., loses the last ending game), then he/she loses. Of course we can assume GG and MM are clever enough, and GG will not lose intentionally, O(∩_∩)O~

题目翻译

$\text{GG}$ 和 $\text{MM}$ 玩游戏。$\text{MM}$ 先操作，有 $n$ 对石子堆，每次操作要对每对石子堆做以下操作，设某对石子堆的个数为 $(x,y)$，$x>y$

• 在 $x$ 那堆里拿走 $y$ 的倍数个石子。

若有一对石子堆中有一堆为 $0$，就不用操作。

能做最后一次操作的人获胜。假设二人都用最佳策略。

题解

这题和 HDU1525/POJ2348 Euclid‘s Game 很像，但有点不一样。

这是 $\text{Every-sg}$ 博弈，做最后一次操作的获胜。对于此类博弈，应对的方法比较特别。

我想让自己赢，对于每堆石子，如果我必败，就让他快点结束，否则，就尽可能最后结束。这样，是最有可能胜利的。

对于每堆石子，记录两人能获胜的最大步数，谁的大谁就必胜。

至于如何求最大步数，见下。

方便起见，我们假定 $x>y$。

下面分类讨论：

1. 当 $x>2y$ 时，至少有两种操作可能：$(x\mathrm{mod}y+y,y)$ 或 $(x\mathrm{mod}y,y)$。
   如果 $(x\mathrm{mod}y,y)$ 为必败态，则先手直接转移到这个状态。步数加一
   如果 $(x\mathrm{mod}y,y)$ 为必胜态，则先手可以转移到 $(x\mathrm{mod}y+y,y)$，然后后手就只能转移到 $(x\mathrm{mod}y,y)$。步数加二。
   这样，无论如何先手都必胜。
2. 当 $y\mid x$ 或 $y=0$ 时，显然先手必胜。
3. 否则，你只能转移到 $(x-y,y)$。步数加一

通过上面的分类，我们就可以写出代码了。实现时最好使用递归。不开 long long 见祖宗。

代码

#include
using namespace std;
int n,bs;
int SG(int x,int y)
{
    if(x>y) swap(x,y);
    if(!x) return 0;
    bs++;
    if(2*x>y) return !SG(x,y-x);
    if(SG(y%x,x)) bs++;
    return 1;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        int bs1=0,bs2=0;
        for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            bs=0;
            if(SG(x,y)) bs1=max(bs1,bs);
            else bs2=max(bs2,bs);
        }
        if(bs1>bs2) puts("MM");
        else puts("GG");
    }
}