离散数学——关系

关系

关系的定义

几种特殊的关系

空关系：
对任意集合A,B,Ф⊆A×B ，Ф⊆A×A
所以Ф是由A到B的关系，Ф也是A上的关系，称为空关系。

全域关系：
因为A×B⊆A×B，A×A⊆A×A ，所以A×B是一个由A到B的关系，称为由A到B的全域关系。A×A是A上的一个关系，称为A上的全域关系。常将A×A记作：
                                          UA={|ai, aj∈A}

恒等关系：
定义集合A上的恒等关系 IA={|a∈A}

例子：设A={a, b, c}
则 UA = { , , , , , , , , }
是A上的全域关系。IA= { , , }是A上的恒等关系。

关系的表示

集合表示法

用表示集合的列举法或描述法来表示关系。

矩阵表示法

关系图表示法

设 A 和 B 为任意的非空有限集，R 为任意一个从 A 到 B 的二元关系。以 A∪B 中的每个元素为结点。对每个 ∈R ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B 皆画一条从 x 到 y 的有向边，这样得到的一个图称为关系 R 的关系图。

关系的性质

由关系图、关系矩阵判别关系的性质

复合关系与逆关系

关系的并、交、补及对称差运算

若R与S都是集合A到集合B的关系，则 R∪S , R ∩ S , R - S , $\overline{R}$ ，R ⊕ S 均为A到B的关系。

复合关系

逆关系

关系的闭包运算

关系的闭包的概念

关系的闭包的求法

1.由定义求闭包：

2.利用关系矩阵求闭包

3.利用关系图求闭包

集合的划分与覆盖

集合的划分

集合的覆盖

说明：
(1) 若S是A的划分，则S也一定是A的覆盖。
(2) 任意给定集合A的划分或覆盖不是唯一的。
(3) 给定了集合A的划分或覆盖，则A便唯一确定。
(4) 覆盖中各子集可重叠，划分则不然。
(5) 以非空集A为元素的集合S={A}称为A的最小划分。
(6) S = { { a } | ∀ a ∈ A } 称为A的最大划分。

等价关系

等价关系的定义

等价关系

集合A上的关系 ρ，如果它是自反的，对称的，且可传递的，则称ρ是A上的等价关系。
例如：一群人的集合中姓氏相同的关系也是等价关系。但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。

元素a与b等价

设 ρ 是集合A上的等价关系，若元素a ρ b ，则称a与b等价，或称b与a等价。

等价类

等价类的性质

等价关系与划分

相容关系

相容关系的定义

集合A上的关系 ρ ，如果它是自反的，对称的，则称 ρ 是A上的相容关系。

最大相容类

相容关系与覆盖

注意：由定理3.9.3可知，给定集合A的任意一个覆盖，必可在A上构造一个对应于此覆盖的一个相容关系，但是两个不同的覆盖却能构造出的相同的相容关系。

序关系

偏序关系的定义

偏序关系的哈斯图

偏序集中特殊位置的元素

出界有以下性质：
（1）一个集合可能没有上界或下界，若有，则不一定唯一，并且它们可能在B中，也可能在B外；
（2）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且若是B的最大（小）元素，则它必是B的上（下）确界。

两种特殊的偏序集