Leetcode——动态规划

10.正则表达式的匹配
44.通配符的匹配

上述两个问题都属于完全背包问题。
正则表达式的匹配：关于这道题目，需要注意的是对于*符号，它会与前一个字符形成新的模式。因此，遇到 字符 + *符号，需要单独处理。
通配符的匹配：这道题目是正则表达式匹配的低配版。它不需要考虑前后字符之间的关联，只需要考虑边界条件就足够了。

53.最大子数组和

最开始的想法：我用计算给定数组的前缀和，并记录下前缀和的最大值和最小值，最后的结果是最大值 - 最小值。但是这种做法有一个问题：

1. 无法保证前缀和最大值的下标是否大于前缀和最小值的下标

好了，假设你意识到了上述问题，于是你使用下标i和j，下标i表示前缀和最大值的索引，下标j表示前缀和最小值的索引。然后再对程序做一个改进：每次都要更新res。这还有一个问题：

1. 上述更新i和j是根据dp[i] >= dp[k] 以及 dp[j] <= dp[k] 来更新的。这种更新方式基于一种假设：数组的前缀和是递增的。但是对于全负数序列，数组的前缀和是递减的，因此这种方法对于全负数序列不适用。

于是我们开始思考其他方法。忽然，灵机一动，假设数组dp[i]表示以下标i为结尾的最大子数组的和，那么此时更新方式有两种考量：

1. 加入上一个数据形成的子数组序列,即dp[i - 1] + nums[i]
2. 自己另起炉灶，敢为人先，从当前元素开始形成一个长度为1的子数组

那么这两种考量哪种更好呢？我们不知道，但我们永远取它们中间的最大值来更新dp[i]。

55.跳跃游戏

方法：一步一步跳，并更新可跳步数

62.不同路径
63.不同路径II

方法：二维动态规划。注意到状态的无后效性，我们可以使用滚动数组对其进行优化。

64.最小路径和

方法：二维动态规划。注意到状态的无后效性，我们可以使用滚动数组对其进行优化。

70.爬楼梯

方法：动态规划(而且是最简单的那种)。
不过嘞，这道题目还是有给我们一点启发：能用数组就不要使用vector

72.编辑距离

方法：动态规划。

动态规划数组dp[i][j]表示使得word1的前i个字符与word2的前j个字符相匹配所需要的最小操作数。 如果word1[i] = word2[j]，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 否则，我们就选择增加一个字符、删除一个字符或者替换一个字符
其中，替换一个字符的动态规划方程：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
删除一个字符的动态规划方程：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
增加一个字符的动态规划方程: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1; 因此，dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] ,dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]) + 1;

87.扰乱字符串
我不会做

方法：该题目属于区间DP问题，可用动态规划来解决。
题解：宫水三叶题解。

91.解码方法

回溯超时了，然后想到了动态规划。

动态规划方程：f[i] = f[i - 1] + f[i - 2](没考虑特殊情况)
考虑一位解码：f[i] += f[i - 1]，要求s[i] != '0'
考虑两位解码：f[i] += f[i - 2]，要求s[i - 1] != '0',10 * s[i - 1] + s[i] <= 26，而且i >= 2。
1. 如果i < 2，且满足s[i - 1] != '0',10 * s[i - 1] + s[i] <= 26
\quad 1. s[i] == '0'，f[i] = 1
\quad 2. s[i] != '0', f[i] = 2
2. 如果s[i] = s[i - 1] = '0'，直接返回0.

97.交错字符串
我不会做

想到了要利用动态规划，但并不知道怎么做。

115.不同的子序列

动态规划转移方程：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j-1]=dp[i-1][j]& s[i]=t[j]\\ dp[i-1][j]& s[i]\ne t[j]\end{array}$$

118.杨辉三角
119.杨辉三角II
120.三角形的最小路径和
121.买卖股票的最佳时机
122.买卖股票的最佳时机II

若第i天持有股票，有两种情况：

1. 第i - 1天持有
2. 第i - 1天卖出，但第i天买入股票

若第i 天没有持有股票，也有两种情况：

1. 第i - 1天没有持有
2. 第i - 1天没有卖出，但第i天卖出

我们使用dp[i][0]表示第i天不持有股票时的收益，dp[i][1]表示第第i天持有股票时的收益，那么状态转移方程如下：
$$\begin{gathered} dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]) \\ dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]) \end{gathered}$$

前后缀分解

123.买卖股票的最佳时机III

方法：前后缀分解。在本题中，枚举两次交易的分界点，该分界点是第二次交易时股票的买入时机，此时答案就是max(左区间交易最大值 + 右区间交易最大值)。这样我们只需要求解左区间和右区间的交易最大值即可。

左区间的交易最大值：预处理
右区间的交易最大值：和买卖股票的最佳时机使用的方法相同，只不过我们需要逆序遍历，并维护一个存储股票价格最大值变量maxPrices。由于我们已知了第二次股票的买入时机，那么第二次交易的最大值就是$maxPrices-prices[i]$。

139.单词拆分

方法：动态规划。 我第一次做的时候是把这道题当作区间动态规划问题来考虑的。看了题解，把这道题目当作完全背包问题来做时间复杂度和空间复杂度会更低。

• 区间动态规划
  1. 动态规划数组dp[i][j]表示字符串s[i : j]是否可由字符串列表wordDict拼接而成。
  2. 动态规划转移方程：dp[i][j] = dp[i][j] || hash.count(s[i : j])||(dp[i][k] && dp[k][j])，其中，$i<=k<j$
  3. 为了快速查找单词s[i : j]是否出现在字符串列表，我们使用哈希表存储字符串列表中的单词，即unordered_set hash(wordDict.begin(),wordDict.end())。
• 完全背包问题
  1. 动态规划数组dp[i]表示字符串s[0 : i]是否可由字符串列表wordDict拼接而成
  2. 动态规划转移方程：dp[i] = dp[i] || hash.count(s[0 : i])||(dp[k] && dp[i])，其中，$0<=k<i$

152.乘积最大子数组

这道题目完全不会做

174. 地下城游戏

自右下到左上的动态规划。完全不会做。悲!

188.买卖股票的最佳时机IV

交易两次的题目我就不会做，交易$k$次我就会做吗？可笑！！！

198.打家劫舍

动态规划数组：
\quad res。res[i]表示小偷走到第i个房间偷盗的最大金额。

动态规划方程：
\quad 小偷走到第i个房间，有两种选择 \quad

1. 不偷。此时res[i] = res[i - 1]; \quad
2. 偷。此时res[i] = res[i - 2] + nums[i] \quad
   因此，动态规划方程是 $$res[i]=max(res[i-1],res[i-2]+nums[i])$$

边界条件： \quad

1. 假设只有一间屋子，偷盗的最大金额是nums[0] \quad
2. 假设只有两件屋子，偷盗的最大金额是max(nums[0],nums[1])

一定要注意边界条件，我没注意边界条件导致解答错误。

213.打家劫舍II

题目规定首尾房屋相连，这就意味着第一间房屋和最后一间房屋不可兼得。那么如何保证？假设有$N$间房屋：

1. 如果偷第一间房屋，可偷窃的房屋范围是$[1,N-1]$
2. 如果不偷第一间房屋，可偷窃的房屋范围是$[2,N]$

按照如上分析，我们有两大类偷窃方法，偷窃的最大金额就是这两类方法计算结果的最大值。

221. 最大正方形

完全不会做。暴风哭泣。。。

数位DP

233。数字1的个数

给定一个数字abcdefg,统计数字1的最佳做法是统计每一位数字1的个数。
例：
考虑d位，若

1. d=0,在d位数字为1的数共有abc(000 ~ abc - 1,共abc个)$\times$efg位
2. d=1,在d位数字为1的数共有 abc $\times$ 1000 $+$ efg $+$ 1位
3. d>1,在d位数字为1的数共有 （abc+1） $\times$ efg 位

279.完全平方数

思路和算法：完全背包 或 区间DP

区间DP

数n可以分解为更小的数字，这些数字必然落在区间$[0,\sqrt{n}]$内(不会证明)。
令dp[i]表示和为i的最小平方数的最小数量，那么dp[j] = min(dp[i],dp[i - j * j] + dp[j * j])

完全背包

令f[i][j]表示在只选择前i个完全平方数的条件下，和为j的完全平方数的最小数量。
对于第i个完全平方数(假设数值为t)，我们有如下选择

1. 选0个，则f[i][j] = f[i - 1][j - 0 * t] + 0
2. 选1个，则f[i][j] = f[i - 1][j - 1 * t] + 1
3. 选2个，则f[i][j] = f[i - 1][j - 2 * t] + 2
   $\cdot \cdot \cdot$
4. 选k个，则则f[i][j] = f[i - 1][j - k * t] + k

根据以上分析，可以得到动态规划方程为dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - k * t] + k),0 <= k <= j / k

300.最长递增子序列

思路和算法：

1. 动态规划 + 爆搜。动态规划方程：dp[i] = max(dp[i] , dp[j] + 1),j = 0,1,2,...i - 1
2. 动态规划 + 二分。

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

310.最小高度树

树形dp，属于我不会做的类型。不过要学习一下y总的代码，能给我很多启发。

312.戳气球

动态规划，区间DP。

322.零钱兑换

完全背包问题。

337.打家劫舍III

树形DP。

---

343.整数拆分

1. 记忆化搜索。时间上击败1.62%，空间上击败5%左右
2. 动态规划。

记忆化搜索

记忆化搜索利用自下而上的递归方法，遍历每一种所有可能的拆分方案，选择乘积最大的作为结果。同时记忆化搜索会用一个状态数组记录已遍历过的状态。具体步骤如下：

1. 定义并使用INT_MIN记忆化数组mem，mem[n][k]表示整数n拆分为k个数字后对应的最大乘积。
2. 枚举k的取值，2 <= k < n，对于每一个k，执行递归程序
3. 递归程序
   1. 如果mem[n][k]不是INT_MIN，返回mem[n][k]
   2. 如果k == 1，直接把n复制给mem[n][k]，并返回n
   3. 对n进行整数拆分，记拆分的第一个数字是i，若n - i >= k - 1，才继续递归，并利用递归返回的结果更新mem[n][k]，更新方式为mem[n][k] = max(dfs(n - i,k - 1) * i,mem[n][k])；
   4. 返回mem[n][k]

问题1：为什么是自下而上递归？
回答：因为自上而下递归无法记录记忆化数组

问题2：在递归程序中，为什么n - i >= k - 1，才继续递归？
回答：若n - i < k - 1，说明整数n - i不足以拆分为k - 1个数字，因此只有n - i >= k - 1才继续递归。

动态规划

动态规划方程：$dp[i]=\underset{1\le j<i}{\min }max(dp[i],j\times (i-j),j\times dp[i-j])$

---

368.最大整除子集
这道题目太有意思了。话不多说，下面开始分析：

最大整除子集的特点

假设现在有一个最大整除子集nums，把nums按照从小到大的顺序排列，那么对于任意i,j，且i < j，都有nums[j] % nums[i] = 0，而且由于整除具有传递性，因此对于任意的k,k < i，都有nums[j] % nums[k] = 0。

由上述最大整除子集的特点，在保证一个序列有序的前提下，要判断一个数字x属于哪个集合，只需要判断该数字能否被集合中的最大元素整除。因此，只需要维护一个集合中的最大元素即可。

思路和算法

题目要求求解最大整除子集的集合，因此还需要维护以下两个数组：

1. 整除子集的长度，用len表示。len[i]表示以第i个元素结尾的整除子集的长度
2. addr数组，addr[i]表示以第i个元素结尾的整除子集的上一个元素的地址(索引)。该数组借鉴了链表的思想，以此达到搜索最大整除子集的目的

分析到这一步，算法步骤已经很明确了：

1. 对nums排序，保证序列有序

2. 遍历nums，假设当前遍历到第i个元素

   1. 从第i个元素开始逆序遍历，假设遍历到的是第j个元素，那么有nums[i] > nums[j]
   2. 若nums[i]是否是nums[j]的倍数，且len[i] < len[j] + 1，更新len[i],addr[i]。

3. 遍历len数组，查找整除子集的最大长度及其最后一个元素的地址

4. 利用addr和最后一个元素的地址搜索最大整除子集

---

375.猜数字大小II

方法；区间DP。

闫氏DP分析法

状态表示

集合：f[i][j]表示当选择的数字在区间[i,j]中时所有的猜法
属性：所有猜法当中所需要金额的最小值

状态计算

若当前猜测的数字是k($i\le k\le j$)，会有以下三种情况：

1. 猜中，支付0元
2. 猜小了，支付的金额是f[k + 1][j] + k元
3. 猜大了，支付的金额是f[i][j - 1] + k元

因此，当猜测的数字是k时，要保证能够赢得游戏的胜利，所需要的准备的金额是max(f[k + 1][j],f[i][j - 1]) + k

由于f[i][j]是所有猜法所需要金额的最小值，因此动态规划方程如下：
$f[i][j]=min(f[i][j],max(f[k+1][j],f[i][j-1])+k),i\le k\le j$

---

376.摆动序列
可以借鉴最长子序列和乘积最大子数组的做法，具体而言：

借鉴最长子序列和最大子数组的动态规划方法

题目要求求解最长子序列的长度，只不过附加了一个限制条件：最长子序列是摆动序列，那么可以借鉴一下最长子序列的求解方法。

状态表示

使用一个二维数组表示状态。具体而言：

集合

1. dp[i][0]表示最后一个元素呈上升趋势的所有子序列
2. dp[i][1]表示最后一个元素呈下降趋势的所有子序列

属性

1. dp[i][0]表示所有子序列中最长子序列的长度
2. dp[i][1]表示所有子序列中最长子序列的长度

状态计算

对于dp[i][0]，由于子序列的最后一个元素要呈现上升趋势，那么倒数第二个元素是呈现下降趋势，因此它必然是由dp[j][1]转移而来，$0\le j<i$。

对于dp[i][1]，由于子序列的最后一个元素要呈现下降趋势，那么倒数第二个元素是呈现上升趋势，因此它必然是由dp[j][0]转移而来，$0\le j<i$。

所以，状态计算如下：
$dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[j][1]+1),0\le j<i$
$dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[j][0]+1),0\le j<i$

时间复杂度

$O(n^2)$

空间复杂度

$O(n^2)$

---

377.组合总和IV

动态规划数组

dp[i]

状态表示

集合

整数i的所有划分方案

属性

划分方案的数量

状态计算

以划分方案的最后一个数字为根据进行划分，因为顺序不同的序列被视为不同的组合，且由于给定的数组的元素各不相同，因此保证了整数i划分方案一定不同。

最后一个数字的取值可以取nums中的任意数字，因此状态计算方法如下：
$dp[i]=dp[i]+dp[i-nums[j]]$,
$i>=nums[j],0\le j<nums.size()$

初始状态

dp[0] = 1，表示组合总和为0的方案只有一种，即空集。

---

背包问题

0-1背包

416. 分割等和子集

方法：动态规划之0-1背包

悲！先尝试了一下dfs，发现超时，然后尝试剪枝 + 记忆化搜索，结果还是没过(不过评论区有人过了。看来他的代码，发现我的记忆化搜索的状态没表示对，但是还是不理解状态为什么不对)。看了答案，原来是0-1背包问题，我怎么就没想起来呢？

关于背包问题，只讲这么几点：

1. 状态表示。状态表示一般是二维数组，即dp[i][j]。其第一维j表示从前i个物品中选择，第二维j表示体积/价值等其他可以量化的约束条件。
2. 状态属性。
   1. dp[i][j]可以存放数字：从前i个物品中选择，总体积/价值不超过 或 等于j的选法
   2. dp[i][j]可以存放bool值：是否存在这样一种选法，使得从前i个物品中选择，总体积/价值等于j
3. 背包问题通常可以进行空间优化。之所以进行空间优化，是因为它的状态转移是一个马尔科夫链，即当前的状态仅与上一时刻的状态有关，而与上一个时刻之前的状态无关。

---