线性代数学习总结-向量

起源

线性代数的研究源自对于二维三维空间下向量的研究。

向量

这里只探究在数学中的表示，每个维度用一个分量表示，用列表示如下：

乘法于加法是线性组合最重要的两个概念

向量乘因子
等于乘以各分量

向量相加 等于各分量相加

将这两个操作组合在一起就是线性组合

对于二维空间而言，如果v和w不共线，则将填充整个二维空间。
三维空间的话，则未必了。如下所示

p1

可能共面、共线，其线性组合会产生可能填充直线、平面或者整个空间的效果。

点乘
即各元素相乘相加之和

长度即各元素点乘开平方

两个不同向量的点乘等于二者夹角的cos

证明嘛如下

p2

矩阵

将线性组合改写为的形式，向量则变为矩阵的列。系数变为向量的元素。

就是矩阵了。

矩阵可逆

首先明确下什么是可逆矩阵，很简单，如下

对于

则是可逆矩阵。也就是对于的线性组合而言，存在另外一个矩阵的线性组合，反向求出。

那么什么条件下矩阵是可逆的呢？

牵扯到前面的空间的概念，从三维空间来讲，如果各列之间Independent，则矩阵是可逆的，反之则不可逆。矩阵的两列或者N列存在组合关系，例如

说明是无用的列，存在很多解。反之，只有唯一解。