数据结构与算法分析 chapter04-AVL树、B树

AVL树

 AVL树是带有平衡条件的二叉查找树。这个平衡条件必须要容易保持，而且它保证树的深度必须是O（logN）。最简单的想法是1.要求左右子树具有相同的高度。如图4-28所示，这种想法并不强求树的深度要浅。
2.要求每个节点都必须有相同高度的左子树和右子树。如果空子树的高度定义为-1.那么只有具有2^k -1个节点的理想平衡树满足一个条件。因此，虽然这种平衡条件保证了树的深度小，但是它太严格而难以使用，需要放宽条件。
 一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树（空树的高度定义为-1）

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单旋转（左-左或右-右的情况）

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双旋转（左-右或右-左的情况）

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B树

B树产生的原因：
B树是一种查找树，我们知道，这一类树（比如二叉查找树，红黑树等等）最初生成的目的都是为了解决某种系统中，查找效率低的问题。B树也是如此，它最初启发于二叉查找树，二叉查找树的特点是每个非叶子节点都只有两个孩子节点。然而这种做法会导致当数据量非常大时，二叉查找树的深度过深，搜索算法自根节点向下搜索时，需要访问的节点也就变得相当多。如果这些节点存储在外存储器中，每访问一个节点，相当于就是进行了一次I/O操作，随着树高度的增加，频繁的I/O操作一定会降低查询的效率。
这里有一个基本的概念，就是说我们从外存储器中读取信息的步骤，简单来分，大致有两步：

找到存储这个数据所对应的磁盘页面，这个过程是机械化的过程，需要依靠磁臂的转动，找到对应磁道，所以耗时长。
读取数据进内存，并实施运算，这是电子化的过程，相当快。

综上，对于外存储器的信息读取最的时间消耗在于寻找磁盘页面。那么一个基本的想法就是能不能减少这种读取的次数，在一个磁盘页面上，多存储一些索引信息。B树的基本逻辑就是这个思路，它就要改二叉为多叉，每个节点存储更多的指针信息，以降低I/O操作数。

一个 m 阶的B树满足以下条件：

• 1. 每个结点至多拥有m棵子树；
• 2. 根结点至少拥有两颗子树（存在子树的情况下）；
• 3. 除了根结点以外，其余每个分支结点至少拥有 m/2 棵子树；
• 4. 所有的叶结点都在同一层上；
• 5. 有 k 棵子树的分支结点则存在 k-1 个关键码，关键码按照递增次序进行排列；
• 6. 关键字数量需要满足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；

举个栗子：

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B树上大部分的操作所需要的磁盘存取次数和B树的高度是成正比的，在B树中可以检查多个子结点，由于在一棵树中检查任意一个结点都需要一次磁盘访问，所以B树避免了大量的磁盘访问。

操作
既然是树，那么必不可少的操作就是插入和删除，这也是B树和其它数据结构不同的地方，当然了，还有必不可少的搜索，分享一个对B树的操作进行可视化的网址，它是由usfca提供的。

假定对高度为h的m阶B树进行操作。

插入

新结点一般插在第h层，通过搜索找到对应的结点进行插入，那么根据即将插入的结点的数量又分为下面几种情况。

• 如果该结点的关键字个数没有到达m-1个，那么直接插入即可；
• 如果该结点的关键字个数已经到达了m-1个，那么根据B树的性质显然无法满足，需要将其进行分裂。分裂的规则是该结点分成两半，将中间的关键字进行提升，加入到父亲结点中，但是这又可能存在父亲结点也满员的情况，则不得不向上进行回溯，甚至是要对根结点进行分裂，那么整棵树都加了一层。

其过程如下：

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删除

同样的，我们需要先通过搜索找到相应的值，存在则进行删除，需要考虑删除以后的情况，

• 如果该结点拥有关键字数量仍然满足B树性质，则不做任何处理；
• 如果该结点在删除关键字以后不满足B树的性质（关键字没有到达ceil(m/2)-1的数量），则需要向兄弟结点借关键字，这有分为兄弟结点的关键字数量是否足够的情况。
  • 如果兄弟结点的关键字足够借给该结点，则过程为将父亲结点的关键字下移，兄弟结点的关键字上移；
  • 如果兄弟结点的关键字在借出去以后也无法满足情况，即之前兄弟结点的关键字的数量为ceil(m/2)-1，借的一方的关键字数量为ceil(m/2)-2的情况，那么我们可以将该结点合并到兄弟结点中，合并之后的子结点数量少了一个，则需要将父亲结点的关键字下放，如果父亲结点不满足性质，则向上回溯；
• 其余情况参照BST中的删除。

其过程如下：

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