C++题解：费解的开关

题目描述

你玩过“拉灯”游戏吗？25 盏灯排成一个 5×5 的方形。每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。

每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。

我们用数字 1 表示一盏开着的灯，用数字 0 表示关着的灯。下面这种状态：

10111
01101
10111
10000
11011

在改变了最左上角的灯的状态后将变成：

01111
11101
10111
10000
11011

再改变它正中间的灯后状态将变成：

01111
11001
11001
10100
11011

给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在 6 步以内使所有的灯都变亮。

输入格式

第一行输入正整数 n，代表数据中共有 n 个待解决的游戏初始状态。

以下若干行数据分为 n 组，每组数据有 5 行，每行 5 个字符。

每组数据描述了一个游戏的初始状态。

各组数据间用一个空行分隔。

输出格式

一共输出 n 行数据，每行有一个小于等于 6 的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。

对于某一个游戏初始状态，若 6 步以内无法使所有灯变亮，则输出 −1。

数据范围

$0<n\le 500$

输入样例

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

输出样例

3
2
-1

算法思想（递推）

最关键的两个性质

1. 每一个位置最多只会被点击一次
2. 如果固定了第一行，那么满足题意的点击方案最多只有一种

解题思路

枚举第一行的点击方法，共$32$种，完成第一行的点击后，其余各行的开关方法就已确定，递推即可。若达到第$n$行不全为$0$，说明这种点击方式不合法。

在所有合法的点击方式中取点击次数最少的就是答案。

对第一行的$32$次枚举涵盖了该问题的所有状态空间，因此该做法是正确的。

时间复杂度

$32\times 20\times 5\times 500=3200000$
对第一行操作有32种可能 * 对前四行有20种操作可能 * 每一次操作都要改变5个灯的状态 * 最多读入的时候可能有500个样例。

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 6;
char g[N][N], backup[N][N];
//注意：这里还应包括当前位置
int dx[5] = {0, -1, 1, 0, 0}, dy[5] = {0, 0, 0, -1, 1};
void turn(int x, int y)
{
    for(int i = 0; i < 5; i ++)
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if(a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5) continue;
        //注意：g[a][b]存储的是字符'0'或者'1'
        //在^1时，如果是字符'0'，即 48 ^ 1 = 49，则变为字符'1'
        //如果是字符'1'，即 49 ^ 1 = 48，则变为字符'0'
        backup[a][b] ^= 1;
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T --)
    {
        //读入灯的状态
        for (int i = 0; i < 5; i ++ ) cin >> g[i];        
        //最小操作次数
        int res = 10;        
        //枚举第一行所有可能的操作
        //每个开关有按或不按两种情况，一行5个开关，一共有2^5，也就是32种情况
        for(int op = 0; op < 32; op ++)
        {
            //记录当前操作的次数
            int step = 0;
            //对于每种情况，备份原数组，在backup数组上进行操作
            memcpy(backup, g, sizeof g); 
            //枚举第一行的每个开关
            for(int i = 0; i < 5; i ++)
            {
                //如果当前操作要按下第i个开关
                //注意：这里是按位与操作
                if(op >> i & 1)
                {
                    //按下第0行，第i个开关
                    turn(0, i);
                    step ++;
                }
            }            
            //根据本题性质，如果第0行操作完成，那么第1行只能将第0行所有熄灭的灯点亮
            //以此类推，第2行、第3行、...、第4行，所有的操作都能确定
            for(int i = 0; i < 4; i ++)
            {
                for(int j = 0; j < 5; j ++)
                {
                    if(backup[i][j] == '0') 
                    {
                        turn(i + 1, j);
                        step ++;
                    }
                }
            }            
            //检查最后一行，是否全亮
            bool dark = false;
            for(int i = 0; i < 5; i ++)
            {
                if(backup[4][i] == '0')
                {
                    dark = true;
                    break;
                }
            }            
            if(!dark) res = min(res , step);
        }       
        if(res > 6) puts("-1");
        else cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}