高中奥数 2022-03-05

2022-03-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题13）

已知个实数的算术平均值为.证明:

证明

先证明时的情况.此时,于是,结论成立.

当时,令,则算术平均值为0,于是,故原不等式成立.

2022-03-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题14）

设,求证:

并确定等号成立的条件.

证明

无妨设,则原不等式等价于

又由于,,故原不等式等价于.

不妨设,则,.设,.其中.于是
$\begin{aligned} xy+z\left(x+y\right)-\dfrac{9}{4}xyz&=xy+\left(\dfrac{1}{3}-\delta\right)\left(\dfrac{2}{3}+\delta\right)-\dfrac{9}{4}xy\left(\dfrac{1}{3}-\delta\right)\\ &=xy\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}\delta\right)+\dfrac{2}{9}-\delta^{2}-\dfrac{1}{3}\delta\\ &\leqslant \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\delta\right)^{2}\cdot \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}\delta\right)+\dfrac{2}{9}-\delta^{2}-\dfrac{1}{3}\delta\\ &=\dfrac{3}{16}\delta^{2}\left(3\delta-1\right)+\dfrac{1}{4}\\ &\leqslant 0, \end{aligned}$
因此结论成立.

2022-03-05-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题15）

已知正整数,实数,,并且,有;.求证:.

证明

当时,

而,故.

当时,
$\begin{aligned} &2b_{1}+2b_{2}+2b_{3}-\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)\\ =&b_{1}+2b_{2}+3b_{3}+\left(b_{1}-b_{3}\right)-a_{2}-2a_{3}-\left(a_{1}-a_{3}\right)\\ \geqslant &b_{1}+2b_{2}+3b_{3}-a_{2}-2a_{3}\qquad\qquad\qquad\qquad(*)\\ =&\left(b_{1}-b_{3}\right)+2b_{2}+4b_{3}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-3a_{3}\\ \geqslant &2b_{2}+4b_{3}-3a_{3}.\qquad\qquad\qquad\qquad(**) \end{aligned}$
(1)若,则,由知结论成立.

(2)若,则,由知结论成立.

(3)若,,则,故,结论仍成立.

对当时的一般情况,无妨设.

如果则,结论成立.

下设,则
$\begin{aligned} \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(a_{i}-a_{j}\right) &=\sum\limits_{i=1}^{n}(n-2 i+1) a_{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-2 i) a_{i} \\ & \geqslant \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}+(n-2)\left(a_{1}-a_{n-1}\right)-n a_{n} \\ & \geqslant \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}+\left(a_{1}-a_{n-1}\right)-n a_{n}(n \geqslant 3) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(b_{i}-b_{j}\right) &=\sum\limits_{i=1}^{n}(n-2 i+1) b_{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left[(n-1) b_{i}+(2-2 i) b_{i}\right] \\ & \leqslant(n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}-2 b_{2}-2(n-1) b_{n} \end{aligned}$
因此,不妨设,不然结论显然成立.

于是,有,故.又由得,所以.故,即.

因此,,即有.

而,, ,,则.

所以.结论也成立

2022-03-05-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题16）

设,求证:

证明

易见,此题等价于证明:.

不妨设,且.则
$\begin{aligned} \sum\limits_{c y c} \dfrac{4 y z}{x(y+z)^{2}} &=\sum\limits_{c y c} \dfrac{(y+z)^{2}-(y-z)^{2}}{x(y+z)^{2}} \\ &=\sum\limits_{c y c} \dfrac{1}{x}-\sum\limits_{c y c} \dfrac{(y-z)^{2}}{x(y+z)^{2}} \\ &=\sum\limits_{c y c} \dfrac{1}{x} \cdot \sum\limits_{c y c} x-\sum\limits_{c y c} \dfrac{(y-z)^{2}}{x(y+z)^{2}} \\ &=9+\sum\limits_{c y c}\left(\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{z}}\right)^{2}-\sum\limits_{c y c} \dfrac{(y-z)^{2}}{x(y+z)^{2}} \\ &=9+\sum\limits_{c y c}\left(\dfrac{(y-z)^{2}}{y z}-\dfrac{(y-z)^{2}}{x(y+z)^{2}}\right) \\ &=9+S, \end{aligned}$
式中,.

由于,所以,

又由于,

因此,
$\begin{aligned} &\dfrac{1}{xz}-\dfrac{1}{y\left(x+z\right)^{2}}+\dfrac{1}{xy}-\dfrac{1}{z\left(|x|-y\right)^{2}}\\ =&\dfrac{\left(x+z\right)^{2}-x}{xy\left(x+z\right)^{2}}+\dfrac{\left(x+y\right)^{2}-x}{xz\left(x+y\right)^{2}}\\ \geqslant &\dfrac{\left(x+y\right)^{2}-x+\left(x+z\right)^{2}-x}{xy\left(x+z\right)^{2}}\\ =&\dfrac{2x^{2}+2xy+2xz+y^{2}+z^{2}-2x\left(x+y+z\right)}{xy\left(x+z\right)^{2}}\\ \geqslant& 0, \end{aligned}$
于是结论成立.

高中奥数 2022-03-05

你可能感兴趣的:(高中奥数 2022-03-05)