数论专题（3）逆元

目录

初步认识

逆元

定义

应用

费马小定理

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好久没有更新我们的数论专题板块了，今天，我们就来探究一下新知——逆元。

初步认识

        在数据非常大的情景下，我们通常会对数据先进行取模运算，来计算在一定的范围内进行处理。而运算的过程中，针对(a+b)%p,(a-b)%p和(a*b)%p，我们都可以通过运用分配律将数据缩小在一个在合理的范围内，再进行精确计算。即有(a+b)%p = (a%p+b%p)%p、(a-b)%p=(a%p-b%p)%p和(a*b)%p=(a%p*b%p)%p。

        如果当a和b很大时，我们可以先取模将数据降区间后再进一步计算。但是对于(a/b)%p，它是不满足分配律的，那怎么办呢？对于一些数据，我们必须在中间过程先对其进行求余后再运算，否则数据将会太大，在计算机中进行除法运算的时候可能会损失精度，导致答案变小，那怎么才能解决这个问题呢？

        我们就下来讲的逆元就能帮您初步解决这个疑难困惑。

逆元

        在中，四则运算都要在模n的意义下，如Z12中，9+3=0,2*6=0。因此，在模运算中，我们知道，减法可以通过补数转化为加法，如在时钟系统中，(8-2)12 = 6，模12的系统中，2的补数是10，因此8-2可以转化为加法运算：(8+10)12 = (8+4+6)12 = (12+6)12 = 6（注，最终的结果不能超过12，即都要模12，相当于以12为周期）。同样，除数如果存在逆元的话，除法也可以转化为乘法，即除以一个数等于乘上这个数的逆元。如在模取9的系统中，(7÷2)9 = (7×5)9。那么，什么是逆元呢？

定义

        如果一个线性同余方程,那么我们就称x为a mod b的逆元，记作.

应用

         换一种表述方式：在模n的意义下的两元素a和b（指以n为模的系统里，如时钟的计量范围是0~11，时钟就是以12位模的系统），满足，比如在模为9的系统中，，那么我们就说a、b互为模n意义下乘法的逆元，记做，。如2和5互为模9意义下乘法的逆元，记做。

        那么开始的例子中7÷2在模9的系统中是什么意思呢？我们知道剩余系中的每一个元素都对应一个同余等价类，所以7÷2的实际含义是：假定有两个整数a、b，满足a/b是整数），且a和b除以9的余数分别是7和2，那么a/b除以9的余数等于(7÷2)9= (16÷2)9=8%9=8。而(7×5)9=8。即(7÷2)9 = (7×5)9=8。

        当a、m互素时，若ax≡1(mod m)，则称x是a关于模m的逆元，记做。且在[0,m]范围内，a的逆元是唯一的。

       证明（反证法证明唯一性：

        若a有两个逆元0＜x1

        又在概述中可以发现将一个整数乘以a^(-1)等价于这个整数除以a，即在模意义下将除法转化为了乘法。即：（注：这里是在模m的系统下的）。那么，问题又来了，如何求逆元呢？我们需要先了解以下几个概念！

费马小定理

        费马大定理众所周知，我们现在来看看费马小定理

        若p为素数，且a和p互素，则有。

证明：∵p为素数，且a和p互素

           ∴a从1到(p-1)的倍数，即a,2a,3a,...,(p-1)a中没有一个是p的倍数，而且任意两个数模p都不同余。

           ∴a,2a,3a,...,(p-1)a这(p-1)个数对模p的同余是1,2,...,(p-1)的排列。

           ∴。即。即得证。易得，对于任意整数a，若p为素数，则有。

费马小定理的应用就是转化，当p为素数，a和p互素时，则:

今天的文章就讲这么多了，下一篇博客我会继续讲如何推出逆元以及讲解欧拉定理。再见！！