高数学习笔记2——函数的极限

函数极限的定义

    在的去心邻域中，有一常数A，当>0时，总存在正数，使得0< | f(x)-A | <成立，则称A为函数的极限，记为：

                              

    函数的单侧极限：（用于证明极限的存在问题）函数极限具有左极限和右极限，只有当左极限等于右极限时，极限才存在。

函数极限的性质

（与上一讲数列极限的性质大致相同，具体内容请参考上一讲数列的性质）

1、唯一性

2、局部有界性

3、局部保号性

函数极限的运算法则（后期会专门写下列法则的应用技巧）

1、若 则：

    a、

    b、

    c、

2、夹逼准则

    与上一讲数列极限中的一样，具体请参考上一讲内容。

3、洛必达法则（符号好难打，贴图片了）

    a、法则一：

        当时，都为0；

    b、法则二

        当时，都为∞。

·4、泰勒公式

5、归结原则（海涅定理）

    在的去心邻域内有：（在条件{}下）

        。

6、无穷小比阶

    a、无穷小定义

        当时，，则称函数为的无穷小。

    b、无穷小比阶（谁是高阶实现趋于零）

    在自变量为同一变化量时，

    若,则称的高阶无穷小。

    若，的低阶无穷小。

    若的同阶无穷小。

    若，的等价无穷小。

    若,的k阶无穷小。

c、常用的无穷小等价替换

    

    

d、无穷小运算法则

   Ⅰ、 有限个无穷小的和是无穷小。

    Ⅱ、有限个无穷小的积是无穷小。

    Ⅲ、有界函数与无穷小的积是无穷小。

    Ⅳ、无穷小运算：

        ①加减法时，无穷小低阶吸收“高阶”

        ②乘除法时，阶数“累加”