溺于恐
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数学分析理论基础17：参变量函数的导数

参变量函数的导数

参变量函数

平面曲线C参变量(参量)方程,设对应曲线C上点P,在点可导,且,则曲线C在点P的切线斜率为tan\alpha=\lim\limits_{\Delta t\to 0}{\Delta y\over \Delta x}={\lim\limits_{\Delta t\to 0}{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)\over \Delta t}\over \lim\limits_{\Delta t\to 0}{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)\over \Delta t}}={\psi'(t_0)\over \varphi'(t_0)}

其中为切线与x轴正向的夹角,若,则

若在上都存在连续的导函数,且,则称C为光滑曲线,光滑曲线上不仅每一点都有切线,且切线与x轴正向的夹角是t的连续函数

若有反函数,则它与构成复合函数

此时只要函数可导,(),可由复合函数和反函数的求导法则

极坐标

若曲线C由极坐标表示,则可转化为以极角为参量的参量方程

此时,在相应的条件下可得

为曲线上点处的切线与极轴Ox轴夹角的正切

设过点M的射线OH与切线夹角为,则

向径与切线夹角的正切

例：证明：对数螺线上所有点的切线与向径的夹角为常量

证：

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