面试中的一个线性代数证明题

问题：

定义矩阵A的范数：，为对称正定阵。

证明：(为的最大特征值)

证明过程：

证明：表示向量的范数，即

由以上定义得：

令，为对阵矩阵，则上式等于：

        (1)

，则为单位矩阵，，(1)式等于：

根据条件优化定理（见下面）可得，

的值为的最大特征值,

又由于，且为对称矩阵，则可正交对角化，那么可通过特征值分解为，则：

可以看出相似于，则与具有相同的特征值，即为的特征值的平方，

如果的最大特征值为，则D的最大特征值为，那么的最大值为，故：

，证毕。

条件优化定理：设是对称矩阵，且和的定义如下式，那么是的最大特征值，是的最小特征值。如果是对应于M的单位特征向量，那么的值等于。 如果是对应于的单位特征向量，那么的值等于。和的定义：