常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的二阶微分方程边值问题的数值算例实现

常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

常微分方程的解析解

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

1. 可分离变量的微分方程（一阶）
2. 一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）
3. 二阶常系数微分方程（二阶）
4. 高阶常系数微分方程（$n$阶）

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可分离变量的微分方程（一阶）

这类微分方程可以变形成如下形式：
$$f(x)dx=g(y)dy$$
两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

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一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

形如
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
的方程叫做一阶线性微分方程，若$Q(x)$为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)
$$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$$

伯努利方程
形如
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,n\in \mathbb{R},n\ne 1$$
的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：
$$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$
$$\frac{1}{1-n}\cdot \frac{d{y}^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$
令 $y^{1-n}=u$, 方程两边同时乘以 $1-n$，得到
$$\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$$
即 $\frac{du}{dx}+P^{\prime }(x)u=Q^{\prime }(x)$.
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

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二阶常系数微分方程（二阶）

形如
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$
的方程称为二阶常系数微分方程，若$f(x)\equiv 0$，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

1. 求出齐次通解
2. 求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

• 齐次通解的求法

首先假设 $f(x)\equiv 0$.用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：
$${\lambda }^2+p\lambda +q=0$$
解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 ${\lambda }_1、{\lambda }_2$, 此时方程的通解是
$$Y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$
情况二：方程有一个二重解
假设该解等于$\lambda$，此时方程的通解是
$$Y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$$
情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 $\alpha \pm i\beta$, 此时方程的通解是
$$Y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$$

• 非齐次特解的求法

对于 $f(x)$ 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

1. $f(x)=P_m(x)$，其中 $P_m(x)$ 表示 $x$ 的最高次数为 $m$ 的多项式。

   若0不是方程特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=Q_m(x)$

   若0是方程的单特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=x{Q}_m(x)$

   若0是方程的二重特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=x^2{Q}_m(x)$

   其中 $Q_m(x)=b_0+b_{1}x+\dots +b_m{x}^m$, $b_i(i=0,1,\dots ,m)$是需要带回原方程来确定的系数。

2. $f(x)=e^{\alpha x}{P}_m(x)$

   若 $\alpha$ 不是方程特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_m(x)$

   若 $\alpha$ 是方程的单特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=x{e}^{\alpha x}{Q}_m(x)$

   若 $\alpha$ 是方程的二重特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=x^2{e}^{\alpha x}{Q}_m(x)$

3. $f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x)) $

   若 $\alpha \pm i\beta$ 不是特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

   若 $\alpha \pm i\beta$ 是特征解

   则方程有特解 $y^{\ast }=x{e}^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

   其中 $A_1、A_2$ 是需要带回原方程来确定的系数。

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高阶常系数微分方程（n阶）

形如
$$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+...+p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$$
的方程叫做高阶常系数微分方程，若 $f(x)\equiv 0$，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

1. 求出齐次通解
2. 求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

• 齐次通解的求法(参考二阶常系数微分方程解法)
• 非齐次特解的求法(参考二阶常系数微分方程解法)

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算例

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题
$$\{\begin{array}{rlr}{y}^{\prime \prime }(x)+2y^{\prime }(x)-3y(x)& =3x+1,& x\in [1,2]\\ y^{\prime }(1)-y(1)& =1,& \\ y^{\prime }(2)-y(2)& =-4.& \end{array}$$

1. 求出上述两点边值问题的解析解;
2. 通过有限差分方法算出其数值解;(取$h=\frac{1}{5}$)并计算误差、绘图、输出$1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0$处的数值解.

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问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故求解此类方程分两步：

1. 求出齐次通解
2. 求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

• 齐次通解的求法

首先假设 $y^{\prime \prime }(x)+2y^{\prime }(x)-3y(x)\equiv 0$. 用特征方程法，写出对应的特征方程
$${\lambda }^2+2\lambda -3=0$$
求解得到两个不同的实数特征根:${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-3$.

此时方程的齐次通解是
$$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

• 非齐次特解的求法

由于 ${\lambda }_1\ne 0,{\lambda }_2\ne 0$. 所以非齐次特解形式为
$$y^{\ast }=ax+b$$
将上式代入控制方程有
$$2a-3ax-3b=3x+1$$
求解得: $a=b=-1$, 即非齐次特解为 $y^{\ast }=-x-1$.

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

于是,原方程的全解为
$$y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-3x}-x-1$$
因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数
$$y^{\prime }(x)=C_1{e}^x-3C_2{e}^{-3x}-1$$
且有
$$\{\begin{array}{rl}y(1)& =C_{1}e+C_2{e}^{-3}-2\\ y^{\prime }(1)& =C_{1}e-3C_2{e}^{-3}-1\\ y(2)& =C_1{e}^2+C_2{e}^{-6}-3\\ y^{\prime }(2)& =C_1{e}^2-3C_2{e}^{-6}-1\end{array}$$
将以上各式代入边界条件
$$\{\begin{array}{rl}{y}^{\prime }(1)-y(1)& =-4C_2{e}^{-3}+1=1\\ y^{\prime }(2)+y(2)& =2C_1{e}^2-2C_2{e}^{-6}-4=-4\end{array}$$
解此方程组可得: $C_1=C_2=0$.

综上所述,原两点边值问题的解为
$$y=-x-1$$

常微分方程的数值解

一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法

对一般的二阶微分方程边值问题
$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=f(x),a<x<b\\ a_{1}y(a)+a_2{y}^{\prime }(a)=a\\ {\beta }_{1}y(b)+{\beta }_2{y}^{\prime }(b)=\beta \end{array}$$
假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,

1. 把区间 $I=[a,b]N$ 等分, 即得到区间 $I=[a,b]$ 的一个网格剖分:
   $$a=x_0<x_1<\cdots <x_{N-1}<x_N=b$$
   其中分点 $x_i=a+ih(i=0,1,\cdots ,N)$, 步长 $h=\frac{b-a}{N}$.

2. 对式中的二阶导数仍用数值微分公式
   $$y^{\prime \prime }\left(x_i\right)=\frac{y\left(x_{i+1}\right)-2y\left(x_i\right)+y\left(x_{i-1}\right)}{h^2}-\frac{h^2}{12}{y}^{(4)}\left({\xi }_i\right),x_{i-1}<{\xi }_i<x_i$$
   代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为$O(h^2)$，则用 3 点数值微分公式；另外为了保证内插，在 2 个端点所用的 3 点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即
   $$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(x_i\right)=\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_{i-1}\right)}{2h}-\frac{h^2}{6}{y}^{\prime \prime \prime }\left({\xi }_i\right),x_{i-1}<{\xi }_i<x_i,i=1,2,\cdots ,N-1\\ y^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{-3y\left(x_0\right)+4y\left(x_1\right)-y\left(x_2\right)}{2h}+\frac{h^2}{3}{y}^{\prime \prime \prime }\left({\xi }_0\right),x_0<{\xi }_0<x_2,\\ y^{\prime }\left(x_N\right)=\frac{y\left(x_{N-2}\right)-4y\left(x_{N-1}\right)+3y\left(x_N\right)}{2h}+\frac{h^2}{3}{y}^{\prime \prime \prime }\left({\xi }_N\right),x_{N-2}<{\xi }_N<x_N\end{array}$$
   略去误差，并用 $y(x_i)$ 的近似值 $y_i$ 代替 $y(x_i)$, $p_i=p(x_i),q_i=q(x_i),f_i=f(x_i)$ 便得到差分方程组
   $$\{\begin{array}{l}\frac{1}{h^2}\left(y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}\right)+\frac{p_i}{2h}\left(y_{i+1}-y_{i-1}\right)+q_1{y}_i=f_i,i=1,2,\cdots ,N-1\\ a_1{y}_0+\frac{a_2}{2h}\left(-3y_0+4y_1-y_2\right)=\alpha \\ {\beta }_1{y}_N+\frac{{\beta }_2}{2h}\left(y_{N-2}-4y_{N-1}+3y_N\right)=\beta \end{array}$$
   其中 $q_i=q\left(x_i\right),p_i=p\left(x_i\right),f_i=f\left(x_i\right),i=1,2,\cdots ,N-1,y_i$ 是 $y\left(x_i\right)$ 的近似值. 整理得
   $$\{\begin{array}{l}\left(2h{\alpha }_1-3{\alpha }_2\right)y_0+4{\alpha }_2{y}_1-{\alpha }_2{y}_2=2h\alpha \\ \left(2-h{p}_i\right)y_{i-1}-2\left(2-h^2{q}_i\right)y_i+\left(2+h{p}_i\right)y_{i+1}=2h^2{f}_i,i=1,2,\cdots ,N-1\\ {\beta }_2{y}_{N-2}-4{\beta }_2{y}_{N-1}+\left(3{\beta }_2+2h{\beta }_1\right)y_N=2h\beta \end{array}$$
   特别地, 若 ${\alpha }_1=1,{\alpha }_2=0,{\beta }_1=1,{\beta }_2=0$, 则原问题中的边界条件是第一类边值条件: $y(a)=\alpha ,y(b)=\beta$; 此时方程组为
   $$\{\begin{array}{l}-2\left(2-h^2{q}_1\right)y_1+\left(2+h{p}_1\right)y_2=2h^2{f}_1-\left(2-h{p}_1\right)\alpha ,\\ \left(2-h{p}_i\right)y_{i-1}-2\left(2-h^2{q}_1\right)y_i+\left(2+h{p}_i\right)y_{i+1}=2h^2{f}_i,i=2,3,\cdots ,N-2\\ \left(2-h{p}_{N-1}\right)y_{N-2}-2\left(2-h^2{q}_{N-1}\right)y_{N-1}=2h^2{f}_{N-1}-\left(2+h{p}_{N-1}\right)\beta \end{array}$$
   以上方程组是三对角方程组，用解三对角方程组的追赶法求解差分方程组，便得边值问题的差分解 .

3. 讨论差分方程组的解是否收敛到原微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.

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数值算例

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题
$$\{\begin{array}{rlr}{y}^{\prime \prime }(x)+2y^{\prime }(x)-3y(x)& =3x+1,& x\in [1,2]\\ y^{\prime }(1)-y(1)& =1,& \\ y^{\prime }(2)-y(2)& =-4.& \end{array}$$

1. 求出上述两点边值问题的解析解;
2. 通过有限差分方法算出其数值解;(取$h=\frac{1}{5}$)并计算误差、绘图、输出$1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0$处的数值解.

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问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于原问题,取步长h=0.2,用有限差分求其近似解,并将结果与精确解y(x)=-x-1进行比较.

解:
因为
$$N=\frac{2-1}{h}=5,p(x)=2,q(x)=-3,f(x)=3x+1$$
$${\alpha }_1=-1,{\alpha }_2=1,\alpha =1$$
$${\beta }_1=1,{\beta }_2=1,\beta =-4$$
代入上述差分方程组公式得到差分格式
$$\{\begin{array}{l}\left(-2h-3\right)y_0+4y_1-y_2=2h\\ \left(2-2h\right)y_{i-1}-2\left(2+3h^2\right)y_i+\left(2+2h\right)y_{i+1}=2h^2{f}_i,i=1,2,\cdots ,N-1\\ y_{N-2}-4y_{N-1}+\left(3+2h\right)y_N=-8h\end{array}$$
化简得
$$\{\begin{array}{l}\left(-2h-3\right)y_0+4y_1+(-1)y_2=2h\\ \left(2-2h\right)y_{i-1}+\left(-4-6h^2\right)y_i+\left(2+2h\right)y_{i+1}=2h^2{f}_i,i=1,2,\cdots ,N-1\\ y_{N-2}+(-4)y_{N-1}+\left(3+2h\right)y_N=-8h\end{array}$$
写成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{ccccccc}-2h-3& 4& -1& & & & \\ 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& & & & \\ & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& \\ & & & & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h\\ & & & & 1& -4& 3+2h\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{N-2}\\ y_{N-1}\\ y_N\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2h\\ 2h^2{f}_1\\ 2h^2{f}_2\\ ⋮\\ 2h^2{f}_{N-2}\\ 2h^2{f}_{N-1}\\ -8h\end{array}\right]$$
令
$$A=\left[\begin{array}{ccccccc}-2h-3& 4& -1& & & & \\ 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& & & & \\ & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h& \\ & & & & 2-2h& -4-6h^2& 2+2h\\ & & & & 1& -4& 3+2h\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{N-2}\\ y_{N-1}\\ y_N\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}2h\\ 2h^2{f}_1\\ 2h^2{f}_2\\ ⋮\\ 2h^2{f}_{N-2}\\ 2h^2{f}_{N-1}\\ -8h\end{array}\right]$$
得到代数方程
$$AY=b$$
使用解三对角方程组的追赶法求解此差分方程组,得到差分解 $Y$.

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二阶线性常系数微分方程边值问题的差分法Python代码

先以将区间划分为5份($h=0.2$)为例，求出数值解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 准备工作
def initial(L, R, NS):
    x = np.linspace(L, R, NS + 1)
    h = (R - L) / NS
    return x, h


# 右端函数f
def f(x):
    return 3 * x + 1


# 解方程
def solve(NS):
    # 矩阵A
    A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h])
    # print("A1",A1)
    A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4])
    # print("A2", A2)
    A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1))
    # print("A3", A3)
    A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2))
    # print("A4", A4)
    A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1])
    # print("A5", A5)
    A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2)
    # print("A", A)
    # 矩阵b
    br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array(
        [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])])
    uh = np.linalg.solve(A, br)
    return uh


L = 1.0
R = 2.0
NS = 5

x, h = initial(L, R, NS)
a = 2 - 2 * h
b = -4 - 6 * h ** 2
c = 2 + 2 * h
uh = solve(NS)
print("h=%f时数值解\n" % h, uh)

结果:

h=0.200000时数值解
 [-1.48151709 -1.56543883 -1.6245972  -1.6531625  -1.64418896 -1.58929215]

是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为 $u(x)=-x-1$，现用范数来衡量误差的大小：

# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u


t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)


# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0


ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)

结果:

h=0.200000时真解
 [-2.  -2.2 -2.4 -2.6 -2.8 -3. ]
L_∞(最大模)范数下的误差 1.4107078471946164
L_2(平方和)范数下的误差 1.0483548020308784

接下来绘图比较 $h=0.2$ 时数值解与真解的差距：

# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()

结果:

哎呀呀! 根据输出显示的误差,发现此时数值解的求解效果令人难以接受, $L_{\infty }$(最大模)范数下的误差高达1.41,从图像也能看出数值解与解析解不仅相差甚远,甚至连曲线走势都不太一致.(数值解为一条曲线,解析解为直线)

此处首先认为解析解或者查分格式计算错了,休息了一晚上起来重新推导了一遍后并未发现明显错误. 后来在玩GTA的时候忽然想起导师之前提到过步长会影响数值解稳定性···,于是重新编写程序,修改步长后发现确实如此.

将区间划分为 $N=1280$ 份, 即 $h=0.000781$ 时.

结果:

h=0.000781时数值解
 [-1.99798816 -1.99876784 -1.99954751 ... -2.99297729 -2.99375427
 -2.99453125]
h=0.000781时真解
 [-2.         -2.00078125 -2.0015625  ... -2.9984375  -2.99921875
 -3.        ]
L_∞(最大模)范数下的误差 0.005468750663166322
L_2(平方和)范数下的误差 0.0035976563635910903

绘图比较 $h=0.000781$ 时数值解与真解的差距：

可以看到此时已经具有较高精度, 若还未达到需求精度, 可通过缩短步长$h$ 继续提高精度.

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为$O(h^2)$， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的$\frac{1}{4}$. 下讨论网格加密时的变化：

# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)

结果：

网格密度加倍时误差变化情况
步长h=0.200000	最大模误差=1.410708
步长h=0.100000	最大模误差=0.701417
步长h=0.050000	最大模误差=0.350182
步长h=0.025000	最大模误差=0.175023
步长h=0.012500	最大模误差=0.087503
步长h=0.006250	最大模误差=0.043750
步长h=0.003125	最大模误差=0.021875
步长h=0.001563	最大模误差=0.010938
步长h=0.000781	最大模误差=0.005469
步长h=0.000391	最大模误差=0.002734

完整代码

# 开发者:    Leo 刘
# 开发环境: macOs Big Sur
# 开发时间: 2021/10/5 6:51 下午
# 邮箱  : [email protected]
# @Software: PyCharm
# ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 准备工作
def initial(L, R, NS):
    x = np.linspace(L, R, NS + 1)
    h = (R - L) / NS
    return x, h


# 右端函数f
def f(x):
    return 3 * x + 1


# 解方程
def solve(NS):
    # 矩阵A
    A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h])
    # print("A1",A1)
    A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4])
    # print("A2", A2)
    A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1))
    # print("A3", A3)
    A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2))
    # print("A4", A4)
    A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1])
    # print("A5", A5)
    A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2)
    # print("A", A)
    # 矩阵b
    br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array(
        [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])])
    uh = np.linalg.solve(A, br)
    return uh


L = 1.0
R = 2.0
NS = 1280

x, h = initial(L, R, NS)
a = 2 - 2 * h
b = -4 - 6 * h ** 2
c = 2 + 2 * h
uh = solve(NS)
print("h=%f时数值解\n" % h, uh)


# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u


t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)


# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0


ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)

# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()

# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)
    

数值算例来源: 《微分方程数值解》-M.Ran