高中奥数 2021-07-26

2021-07-26-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P031 习题1）

设￥为大于￥的整数,且不是素数.证明.

证明

因不是素数,故可表示为,其中、.

当时,、是数列中两个不同的项,故被整除.

当时,.由于,故,因而,即.

所以与是数列中两个不同的项,因此被整除.

2021-07-26-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P032 习题2）

证明:正整数可以表示为连续若干个(至少两个)正整数之和的充分必要条件是,不是的方幂.

证明

设,为正整数,.即

.(*)

若为的方幂,则与都是的方幂,但为奇数,故必须,这与题设不合.

反过来,若不是的方幂,设,,.

当时,可取,;当时,可取,.则与都是正整数且.

2021-07-26-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P032 习题3）

证明:任意正整数可表示为的形式,其中、为正整数,且、的不同素因子的个数相同.

证明

当为偶数时,可取,.若为奇数,设是不整除的最小奇素数,则或者没有奇素数因子(即是的幂)或者其奇素数因子都整除.因此,的不同素因子的个数都等于的不同素因子个数加上.

2021-07-26-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P032 习题4）

任意给定整数,证明,存在一个由正整数组成的项的等差数列(公差不为),其中任意两项互素.

证明

数列符合要求.

假设有、使与不互素,则有素数整除这两个数,从而整除它们的差,即.

因是素数,故或.但,故若,则也有.因此我们总有,再结合可知,矛盾.

2021-07-26-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P032 习题5）

证明:对每个,存在￥个互不相等的正整数,使得.

证明

采用归纳构造法.
时,可取,.

假设在时已有符合要求,令为的最小公倍数,则个数

符合要求.