Week 12

(1) Daniel Harlow & Edger Shaghoulian, Global symmetry, Euclidean gravity, and the black hole information problem
(2) Yiming Chen & Henry W. Lin, Signatures of global symmetry vilation in relative entropies and replica wormholes
(3) Po-Shen Hsin, Luca V. Iliesiu and Zhenbin Yang, A violation of global symmetries from replica wormholes and the fate of black hole remnants
Ps. 感谢一起讨论的Yang An。

这三篇文章紧密相连，回答了我之前的一些疑问： Island formula或者replica wormhole 还能给我们什么其他的启示？换句话说，如果我想把这些关于量子引力新的进展变为一种自己的intuition，我应该思考什么样的问题或者怎样思考？

如果看过Daniel Harlow 18年写的关于global symmetry的文章，那么就能很容易把island和那篇文章的一些argument 联系起来。虽然18年的文章我看过了，还和朋友讨论过，不过很遗憾并没有把两者联系起来。可能缺少的一环就是关于entanglement wedge 概念的理解上。

理论本身的自洽性会对理论可以具有的对称性是有一些限制的。比如Coleman-Mandula no-go theorem，理论的global symmetry只能是Poincare symmetry 直乘 一个 internal symmetry，换句话说 “时空对称性与内部对称性只能平凡的结合”。
关于量子引力，一个conjecture 是 量子引力是根本不允许有内部的global symmetry的。

Argument 1

最初的argument 是来源于霍金对黑洞的研究。
因为黑洞的 no-hair theorem， 所以黑洞的宏观状态并不依赖与其携带的global symmetry charge的信息。和 information paradox 一样，当黑洞蒸发后，所有有关global charge的信息也将丢失，也是说global charge的守恒律也将被违反。这个argument的loophole就是假设了蒸发后期，还是可以用半经典的近似。如果黑洞并不蒸发完全，而是剩下一个remnant的话，理论上remnant可以携带信息。

Argument 2

如果我们假设黑洞的coarse grained entropy 正比与视界面的话，那么remnant 的loophole 可以部分补上。因为对于一个有限温度的黑洞他能储存的信息是有限的，而对于具有无穷多个不可约表示的global symmetry，有限多的黑洞微观态是不足与编码有关global symmetry的全部信息的。这个argument 的一个loophole是，有些global symmetry 可能只有有限多个不可约表示，所以不需要无穷多个微观态来编码？那么这样的global symmetry，如某些离散的symmetry，可以存在吗？

Argument 3

在18年Harlow的文章中指出，如果假设AdS/CFT的话，所有的global symmetry包括离散的情况都是不会存在。在文章（1）中，Harlow 把这个AdS/CFT的假设换成了一个弱一些的假设：如果量子引力理论存在黑洞，且黑洞蒸发的过程是unitary的。
另外一个假设，global symmetry 的作用是local的。然后主要用到的结论是entanglement wedge reconstruction。我可以把boundary 分成很多小份，所有这些小份的entanglement wedge的集合并不会cover 整个bulk区域。所以如果在没被cover的区域里存在一个带有global charge 的operator，因为charge不为0，那么对称操作是应该有non-trivial的作用的。但是在AdS/CFT下，理论上这个bulk 里对称操作应该由boundary上的操作构造出来的，但是这个bulk operator并不在任何一个entanglement wedge里面，所以这个bulk 对称操作一定是trivial 的，也就是说bulk里并不存在带有charge 的operator。
在黑洞蒸发过程是unitary的假设里，我们知道unitary是通过引入island 来实现的。那么我们可以这样想，对于整个radiation的区域是可以有对应的island的。但是我们把radiation的区域分成很多小份，以至于每一小份都不会有island，那么存在根据上面同样的假设，island里面的operator也不会带有charge。
或者这样想，本来我们以为黑洞内部的信息，我们是提取不出来的。但是其实因为有island 这部分信息是可以被提取的，也就是说当你再黑洞外部选取合适的区域的时候，这个区域的entanglement wedge 是可以包括黑洞内部的。这时我们就可以用Harlow之前的argument了。一个关键的假设还是，可以把区域分成很多小份，然后每一小份不会有island。
总的来说Harlow这个argument比较反直觉的地方是，为什么global symmetry的信息是特殊的？或者如果我们黑洞想象成一个量子计算机的话，为什么有关global symmetry的信息不能被编码。或者我可以反过来问，如果我假设理论有global symmetry，那么这个symmetry是如何被破坏的。我们能通过什么样的量来发现global symmetry的破坏？

这个文章（2）和（3）给出了一些想法？（2）建议我们可以计算relative entropy
,这个里是假设存在的对称操作，如果对称性没有被破坏的话，那么与将有同样的信息，所以relative entropy为0。但是可能我们并不能直接算，因为我们没有量子引力理论，但是我们借用island 的公式来算这个量

我们可以假设semi-classical的理论是有这个对称性的，同时还要假设，对于半经典或者exact的量子引力理论，我们可以认同区域并且假设是仅仅作用在这个区域里的。因为这个对称操作只作用在radiation的部分不作用在island的部分，所以我们可以期待这个relative entropy不会为0而且还是order 1的。文章通过一个free fermion的例子验证了这一点。最后这个relative entropy 会转化成计算modular Hamiltonian的一些计算。
或者其实我们可以直接比较两个density matrix。核心的一个假设还是

这样才可以说明，exact的理论是没有对称性的。其实这里已经是一个比较tricky的假设了，因为有了这个假设后面的计算都是可以期待的。

文章（3）直接从replica wormhole 出发的然后计算的transition amplitude

这里和对应两个处在不同表示的两个态，带有的quantum number 不一样，如果对称性存在的话，这个amplitude 应该为0。但是因为wormhole存在的话，在计算这个量的时候就会有非为0的贡献。用之前replica wormhole的语言就是，一组完备正交基会变得不正交且overcomplete。
想法还是简单的；如果我们认为对应了边界条件的话，那么边界上的自由度的数目是等于bulk的里面的微观态的个数的。但是bulk的微观态的数目是由其coarse grained entropy来bound 的。那么当边界的自由度超过了这个bound的时候，会发生什么呢？那么引力路径积分就不能完全区别这些state了。如何具体来看出这一点呢？

假如然后我们想用k 个微观态来编码任意一个量子态：

当然可能这样的linear combination 不存在，但是我们maximize 这个模拟的state 与真实state的overlap

关键就是我们要用replica trick来计算
当k超过bound 的时候，这个replica的计算是被wormhole dominate的，很容易发现这个saddle 的贡献是(关于的部分正好cancel 掉了)。也就是说引力会认为，不管什么样的量子态，都可以用这 k 个量子态来编码，因为k的态能编码的态的数量是有限的，所以对于很多state，引力都是无法区分的。