【笔记】概统论与数理统计第三章知识点总结

3.1 二维随机变量及其分布函数

1. 二维随机变量及其分布函数

• 二维随机变量 (向量)：在同一个样本空间上的两个随机变量X和Y组成(X, Y)
  • 由于随机变量X和Y从不同角度刻画统一随机试验，X和Y可能还存在内部联系，因此使用二维随机变量进行刻画
• 二维分布函数：设 (X, Y) 是二维随机向量, 对任意实数 x, y, 称

                                                        F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

        为二维随机变量 (X, Y) 的二维分布函数（联合分布函数）               

• 定理：设 F(x, y) 为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数, 则
  • F(x, y) 关于 x 及 y 单调不减
    • F(−∞, −∞) = F(−∞, y) = F(x, −∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1
  • F(x, y + 0) = F(x + 0, y) = F(x, y)
  • 如果 x1 ≤ x2, y1 ≤ y2, 有

    

                                                （矩形的区域大于0）

                如果一个二元函数满足 (2),(3),(4), 那么, 他是某个二维随机变量的分布函数

2. 二维离散型随机变量及其概率分布    

• 二维离散型随机变量：二维随机变量 (X, Y) 只取有限个或可数无穷多个点对

• 二维概率分布/分布律（X与Y的联合概率分布）：设二维随机变量 (X, Y) 所有可能取值为,记 ,

可用表格表示

• 性质
• 
• 
• 二维离散性随机变量 (X, Y) 的分布函数可以用概率分布求出

• 三项分布：在n重独立试验中, 若每次试验只有 A1, A2, A3 三个可能的结果, 且 0 < = P() < 1, i = 1, 2, 3, 则 p1 + p2 + p3 = 1。令随机变量 X1, X2分别表示 n 次试验中A1, A2 的发生次数, 则 (X1, X2) 有联合概率分布

      

      

3. 二维连续型随机变量及其密度函数

• 二维连续型随机变量：二维随机变量 (X, Y), 如果存在二元非负函数 f(x, y), 使得对任意实数 x, y, 有

• (X, Y)：是二维连续型随机变量
•  f(x, y)： (X, Y) 的二维概率密度函数（ X 与 Y 的联合密度函数）

• 性质

  

  

   

  • 定理：二维连续型随机变量 (X, Y) 有密度函数 f(x, y), 则

  • F(x, y) 是连续函数且在 f(x, y) 的连续点 (x, y), 有

    

  • 对平面上任意区域 G ⊂ , 若 f(x, y) 在 G 上可积, 有

    

  • 对平面上任一条曲线 L, 有 P((X, Y) ∈ L) = 0

• • 二维均匀分布：密度函数在随机变量的值域上是常数,令 G 是平面上一个有界区域, 若二维随机变量 (X, Y) 有密度函数

    

  • m(G)：G 的面积
  • (X, Y) ：在 G 上均匀分布，记为(X, Y) ∼ U(G)
  • 描述的是点 “等可能” 地落入大小相同的子块内, 而这里大小是用面积度量的
• 对于Z = min(X, Y)， (Z > t) = (X > t, Y > t)
• 对于W = max(X, Y)，(W ≤ t) = (X ≤ t, Y ≤ t)

3.2 边缘分布及随机变量的独立性

1. 边缘分布函数及随机变量的独立性

• X 及 Y 的边缘分布函数：设 F(x, y) 为二维随机变量 (X, Y) 的二维分布函数, 则 X 及 Y 的边缘分布函数和有

• 随机变量的独立性：F(x, y) 是二维随机变量 (X, Y) 的二维分布函数，, 分别为 X, Y 的边缘分布函数, 若对任意 x, y, 有

• 定理：设随机变量 X 和 Y 独立, g(x) 与 h(y) 分别是 x 与 y 的连续函数，那么，X1 = g(X) 和 Y1 = h(Y) 也相互独立

2. 二维离散型随机变量的边缘分布及独立性

• 边缘概率分布（边缘分布）：设 (X, Y) 是二维离散型随机变量，有二维概率分布

        X 和 Y 都是一维离散型随机变量，有各自的分布律（边缘分布）

• （X 和 Y 的分布列写在表格的边缘，所以叫做边缘分布）
• 随机变量 X 和 Y 独立 ⇐⇒ pij=pi⋅p⋅j，i, j = 1, 2, . . ..

3. 二维连续型随机变量的边缘分布及独立性

对二维连续型随机变量 (X, Y), 有二维密度函数 f(x, y), 则 X 和 Y 作为一维随机变量也是连续型的, 有各自的密度函数，相对于二维密度函数, 它们分别叫做 X 与 Y 的边缘密度函数。

• 定理：(X, Y) 的二维密度为 f(x, y), X 与 Y 的边缘密度分别为

  

  

• X 与 Y 相互独立 ⇐⇒ f(x, y) =

3.3 条件分布与条件密度

1. 条件分布函数：当P(Y=y) > 0 时，Y=y条件下X的条件分布函数为

2. 离散型随机变量的条件分布

• Y =  条件下 X 的条件概率分布： 任意给定，且 P(Y = ) = p⋅j > 0

  

• X =  条件下 Y 的条件概率分布： 任意给定，且 P(X = ) = pi⋅ > 0

  

• 性质：条件概率分布也是一个离散型概率分布

  

  

• 条件分布函数

3. 连续型随机变量的条件密度函数

• 条件分布函数：设 (X, Y) 有二维密度 f(x, y), 从而 X 与 Y 有边缘密度, 则

  

• 条件密度函数

 

• 当边缘密度和条件密度都已知时, 我们可以求出联合密度

3.4 二维随机变量函数的分布

1. 离散型随机向量的函数的分布

当 (X, Y) 是二维离散型随机变量, 且 X 与 Y 有联合分布律，i, j = 1, 2,...，则Z=g(X, Y)有分布律

2. 连续型随机向量的函数的分布

• 当 (X, Y) 为二维连续型随机变量。且有密度函数 f(x, y)。若 g(x, y) 是连续可微函数，则 Z = g(X, Y) 是一维连续型随机变量，从而有由 f(x, y) 求 Z 的密度函数的问题。方法如下：
  • 确定 Z 的值域 R(Z)对任意 z ∈ R(z), 求 Z 的分布函数，即

  • 

    

  • 其中，G(z) = {(x, y) : g(x, y) ≤ z}
  • 当 z ∉ R(Z) 时， = 0；当 z ∈ R(Z) 时，=
• 注
  • 在几何上，z= f (x,y)表示空间一个曲面，介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
  • P((X,Y)∈ G)等于以G为底，以曲面z= f(x, y)为顶面的柱体体积。所以(X,Y)落在面积为零的区域的概率为零。

• 设二维随机变量 (X, Y) 有密度函数 f(x, y)，Z = X + Y, 则对任意 z ∈ R(Z)，有

  

• 特别的，当X和Y独立时，有（卷积公式）

  

3.5 多维随机变量

1. n维分布函数

• n 维随机变量 ()：是定义在同一个样本空间 Ω 上的随机变量

• n 维分布函数：对 n 个实数，有n 维随机变量 (n)的n元函数

  

  • 具有二维分布函数的性质

• 若对任意实数, 有 F(, ,…,) = ，则称随机变量相互独立

2. 多维离散型随机变量

• n 维概率分布：

  • 性质

    

    

  • 随机变量相互独立当且仅当

•  多项分布：在 N 重独立试验中，若每次试验有 n + 1 种可能结果，且。令Xi表示N冲独立重复实验中Ai发生的次数，i=1,2,…,n，则()所服从的分布称为为多项分布，记为

       

• 二项分布的可加性：设 X ∼ B(n, p)，Y ∼ B(m, p)，且 X 与 Y 相互独立，则

                                                        Z = X + Y ∼ B(m + n, p)

• 离散卷积公式：

• 推论1：设 ，且相互独立，则

  

• 推论2：设 独立同分布于 0 − 1 分布 B(1, p)，则

• 泊松分布的可加性
  • 定理：设 X ∼ P(), Y ∼ P()，且 X 与 Y 相互独立，则

    

  • 推论：设X ∼ P()，i = 1, 2, . . . , n，且相互独立，则

3. 多维连续型随机变量

• n 维连续型随机变量：
• n 维概率密度函数：f()

  • 性质

    

    

• n 维随机变量的分布函数

  

• 定理：()有 n 维密度函数()， 有边缘密度， i = 1, 2, . . . , n，则相互独立当且仅当

        在各密度函数的公共连续点上成立

• n 维均匀分布：G 是 Rn 中一个可求度量的区域，当 n 维随机变量()有密度函数

        

        其中, m(G) 为 G 的度量, 称()服从 G 上 的均匀分布

• Γ 分布的可加性：设随机变量 ~Γ(, ), i = 1, 2, . . . , n，且相互独立，则

• 最大值和最小值的分布
  • ​​​​设随机变量独立，且Xi有分布函数(x), i = 1, 2, . . . , n
    • M=max⁡()
    • N =min⁡()

      

  • 特别的，若独立同分布于 F(x)，那么