数据结构--图的应用

一、最小生成树

（一）Kruskal算法

1. 又称“加边法”。
2. 开局最小生成树拥有所有图的所有结点，每次选择权重最小的边，且该边的两端要属于两棵不同的树。重复此操作，直到所有顶点都在一棵树内，或者有n-1条边为止。
3. 不能构成回路。
4. 边稀疏的图适合使用该算法。e条边的图，执行该算法时间复杂度为O()

例：

（二）Prim算法

1. 又称“加点法”。
2. 开局最小生成树为空，每次选择权重最小的边，且该边的两个端点，一个在树里，一个不在树里。（这个树最后就是最小生成树）
3.  思路：在树里选一个点，然后寻找权重最小的边。
4. 边稠密的图适合使用该算法。v个顶点的图，执行该算法时间复杂度为O()

例：

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二、最短路径

（一）Dijkstra算法--求单源最短路径

1. s[ i ]：标记是否已经完成计算。
2. dist[ i ]：记录当前源点到点 i 的最短路径 。
3. path[ i ]: 源点到点 i 的最短路径中，点 i 的前一个结点坐标。
4. 初始情况下，s[ i ] 全部为0；dist[ i ]是源点到点 i 的边的权值，若没有边，则记为∞；源点path[ 0 ] = -1，若点 i 与源点有边，则path[ i ] = 0；否则为-1。
5. v个顶点的图，求单源最短路径的时间复杂度为O()；求每一个点到其他点的最短路径时间复杂度为O()
6. 图中，边的权值不能为负值

例1：

每一轮找上一轮中，dist[ i ]最小 且 s[ i ]为0的点，将s[ i ]置为1，并尝试源点通过该点，计算到达其他点的最短路径dist[ i ]，如果比上一轮小，则更新dist[ i ]和path[ i ]

 例2：

 

（二）Floyd算法--求多个点之间的路径

1. n个点的图（结点序号0 ~ n-1），递推产生n阶方阵序列：。其中初始方阵是图的邻接矩阵，存储最终结果。
2. 意思是，加入结点，更新后的最短路径。
3. ★★★★
4. v个顶点的图，Floyd算法时间复杂度O()

例：

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三、AOV网与AOE网

（一）AOV网

基本介绍

1. 有向无环图，边无权值。
2. 顶点表示活动，边表示活动顺序。
3. 经常对其进行拓扑排序。
4. 拓扑排序：拿出没有前驱的点，直到图为空。

例一：

 

例二：

 ( A + B ) * ( ( A + B ) / A ) 至少需要的顶点数为？

答：5个

（1）表达式转二叉树

（2）二叉树去重

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（二）AOE网

基本介绍：

1. 有向无环图，但是边有权值。
2. 顶点表示事件，边表示活动。边的权值表示活动持续时间。
3. 关键路径：从开始事件到结束事件，花费最长时间的路径。即 从源点到汇点，边权值之和最大的路径。

AOE网的两个性质：

1. 顶点表示的事件发生后，出边对应的活动才能发生。
2. 进入顶点的所有入边的活动结束，顶点表示的事件才能开始。

几个术语：

1. 事件的最早发生时间：源点 到 点的 最长路径长度。
2. 事件的最迟发生时间：从后向前算（见后面例子）。
   1. 源点的最早发生时间；
   2. 汇点的最早发生时间 = 汇点的最迟发生时间  即 
3. 活动的最早发生时间  = 以它为出边的顶点k的最早发生时间
4. 活动的最迟发生时间 = 以它为入边的顶点j的最迟发生时间  -  活动时间（即边的权值）。

关于入边、出边的说明：如图

 称 顶点k 以 活动对应的边 为 出边，  顶点j 以 活动对应的边 为 入边。

求关键路径步骤：

1. 从源点出发，，按拓扑排序，依次求出所有事件的最早发生时间
2. 求出边活动的最早发生时间 （顶点的最早发生时间） 
3. 从汇点出发，，得到汇点的最迟发生时间，依次求出所有事件的最早发生时间
4. 求入边活动的最迟发生时间 

例子：

 

注意

1. 加速关键活动可以缩短整个工程的工期
2. 不能无限制的缩短，防止关键活动变成非关键活动
3. 多个关键路径，只有加快包含在所有关键路径上的关键活动，才能缩短工期