BFS广度优先搜索

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一、BFS的概念

BFS的定义

BFS（Breadth-First Search）广度优先搜索，是一种图搜索算法，用于在图或树等数据结构中遍历或搜索节点。

BFS的搜索方式

BFS从起始节点开始，逐层地访问其相邻节点，直到找到目标节点或遍历完所有节点。

BFS的工作原理是先访问起始节点，然后按照距离起始节点的距离进行遍历。具体过程如下：

1. 将起始节点标记为已访问，并将其加入一个队列中。
2. 从队列中取出一个节点，访问该节点并进行相应处理。
3. 将该节点的未访问的相邻节点加入队列，并标记为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到队列为空。

BFS的特点

BFS的特点是先访问距离起始节点近的节点，然后逐渐向离起始节点更远的节点进行扩展。因此，当在图中搜索最短路径或寻找最近邻节点时，BFS是一种常用的算法。

需要注意的是，BFS使用队列来存储待访问的节点，因此它是一种先进先出（First-In-First-Out，FIFO）的算法。此外，为了避免重复访问节点，需要使用一个标记数组或哈希表来记录节点的访问状态。

一般来说当图的边权都为1时使用BFS，边权为1表示从一个节点到相邻节点的距离或代价是相等的，这意味着每个相邻节点离起始节点的距离相差一个单位。在这种情况下，BFS可以确保首次到达目标节点时的路径长度最小。

如果图中存在边权不为1的情况，BFS可能无法得到最短路径。 对于带有不同边权的图，更适合使用Dijkstra算法或A*算法等其他路径搜索算法，它们可以考虑不同边权的影响，找到最优路径。

二、BFS的实战应用

1.走迷宫

题目描述：
给定一个 $n\times m$ 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 $0$ 或 $1$，其中 $0$ 表示可以走的路，$1$ 表示不可通过的墙壁。

最初，有一个人位于左上角 $(1,1)$ 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。

请问，该人从左上角移动至右下角 $(n,m)$ 处，至少需要移动多少次。

数据保证 $(1,1)$ 处和 $(n,m)$ 处的数字为 $0$，且一定至少存在一条通路。

输入格式：
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数（0 或 1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式：
输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围：
$1\le n,m\le 100$

输入样例：

5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0

输出样例：

8

代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
using namespace std;

const int N = 110;
int d[N][N], g[N][N], n, m;
typedef pair<int, int> PII;
int bfs()
{
	queue<PII> q;
	memset(d, -1, sizeof(d));
	d[0][0] = 0;
	q.push({0, 0});

	int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};

	while (q.size())
	{
		auto t = q.front();
		q.pop();
		for (int i = 0; i < 4; ++i)
		{
			int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
			if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1)
			{
				d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
				q.push({x, y});
			}
		}
	}
	return d[n - 1][m - 1];
}
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < m; ++j)
			cin >> g[i][j];
	}
	cout << bfs() << endl;
	return 0;
}

扩展

在BFS中添加路径回溯，在找到目标节点后打印出从起点到终点的最短路径坐标。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 110;
int d[N][N], g[N][N], n, m, tt = -1, hh = 0, tail = -1;
typedef pair<int, int> PII;
PII q[N * N];


int bfs()
{
	q[++tt] = { 0, 0 };
	memset(d, -1, sizeof d);
	d[0][0] = 0;
	int dx[4]{ -1, 0, 1, 0 }, dy[4]{ 0, -1, 0, 1 };
	while (hh <= tt)
	{
		auto t = q[hh++];
		for (int i = 0; i < 4; i++)
		{
			int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
			if (x < n && x >= 0 && y < m && y >= 0 && d[x][y] == -1 && g[x][y] == 0)
			{
				d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
				q[++tt] = { x, y };
			}
		}
	}

	// 打印最短路径
	vector<PII> path;
	int x = n - 1, y = m - 1;
	while (x || y)
	{
		path.push_back({ x, y });
		for (int i = 0; i < 4; i++)
		{
			int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
			if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m && d[nx][ny] == d[x][y] - 1)
			{
				x = nx;
				y = ny;
				break;
			}
		}
	}
	path.push_back({ 0, 0 });

	cout << "Shortest Path Coordinates:" << endl;
	for (int i = path.size() - 1; i >= 0; i--)
	{
		cout << "(" << path[i].first << ", " << path[i].second << ")" << endl;
	}

	return d[n - 1][m - 1];
}

int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		for (int j = 0; j < m; ++j) cin >> g[i][j];

	cout << "Shortest Path Length: " << bfs() << endl;

	return 0;
}

2.升级版走迷宫（边的权值不同）

单点时限: 2.0sec
内存限制: 256MB

题目描述
一天，sunny 不小心进入了一个迷宫，不仅很难寻找出路，而且有的地方还有怪物，但是 sunny 有足够的能力杀死怪物，但是需要一定的时间，但是 sunny 想早一点走出迷宫，所以请你帮助他计算出最少的时间走出迷宫，输出这个最少时间。

我们规定每走一格需要时间单位 1，杀死怪物也需要时间 1，如果不能走到出口，则输出 impossible，每次走只能是上下左右 4 个方向。

输入格式：
每次首先 $2$ 个数 $n,m$ $(0<n,m\le 200)$，代表迷宫的高和宽，然后 $n$ 行，每行 $m$ 个字符。

S代码你现在所在的位置。
T代表迷宫的出口。
#代表墙，你是不能走的。
X代表怪物。
. 代表路，可以走。
处理到文件结束。

输出格式：
输出最少的时间走出迷宫。不能走出则输出impossible。

输入样例：

4 4
S.X.
#..#
..#.
X..T
4 4
S.X.
#..#
..#.
.#.T

输出样例：

6
impossible

思路

（BFS + 优先队列）
题意：走迷宫，求最短路径，上下左右走一格花费 1，走到有怪的格子花费 2。

将每一点的坐标和由起点到该点的距离存入结构体.
由起点开始，将该点存入优先队列，以到起点的距离 dis 为优先级，每次取出 dis最小的，向外扩散。
相当于第一轮得出所有到起点距离为1的点，第二轮得出所有到起点距离为2的点。

注意：对普通的最短路问题，由于每个各自的花费相同，因此每次存入的点优先级都相同。故不需要使用优先队列，但本题存在有无怪物的区别，每次存入的格子的优先级可能不同，故使用优先队列。

代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;

struct Node
{
	int x, y, dis;
	bool const operator<(const Node& b) const
	{
		return dis > b.dis;
	}
};

char g[N][N];
int sx, sy, tx, ty;
int dx[4]{1, 0, -1, 0}, dy[4]{0, 1, 0, -1};
int n, m;

void bfs()
{
	priority_queue<Node> q;
	Node st{ sx, sy, 0 };
	g[sx][sy] = '#';
	q.push(st);

	while (q.size())
	{
		Node u = q.top();
		q.pop();
		if (u.x == tx && u.y == ty)
		{
			cout << u.dis << endl;
			return;
		}
		for (int i = 0; i < 4; ++i)
		{
			int x = u.x + dx[i];
			int y = u.y + dy[i];
			Node t = { x, y, u.dis };
			if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] != '#')
			{
				if (g[x][y] == 'X') t.dis += 2;
				else t.dis += 1;
				g[x][y] = '#';
				q.push(t);
			}
		}
	}
	cout << "impossible" << endl;
}
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false);
	while (cin >> n >> m) // 持续输入，Ctrl + z退出
	{
		for (int i = 0; i < n; ++i)
		{
			cin >> g[i];
			for (int j = 0; j < m; ++j)
			{
				if (g[i][j] == 'S') sx = i, sy = j;
				if (g[i][j] == 'T') tx = i, ty = j;
			}
		}
		bfs();
	}
	return 0;
}

扩展

在BFS中添加路径回溯，在找到目标节点后打印出从起点到终点的最短路径坐标。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;

struct Node
{
    int x, y, dis;

    bool const operator<(const Node& b) const
    {
        return dis > b.dis;
    }
};

char g[N][N];
int sx, sy, tx, ty;
int dx[4]{ 1, 0, -1, 0 }, dy[4]{ 0, 1, 0, -1 };
int n, m;

void bfs()
{
    priority_queue<Node> q;
    pair<int, int> path[N][N];
    Node st{ sx, sy, 0};
    g[sx][sy] = '#';
    q.push(st);

    while (q.size())
    {
        Node u = q.top();
        q.pop();
        if (u.x == tx && u.y == ty)
        {
            cout << u.dis << endl;
            vector<pair<int, int>> shortest_path;
            shortest_path.push_back({ tx, ty });
            int i = tx, j = ty;
            while (i != sx || j != sy)
            {
                int x = path[i][j].first, y = path[i][j].second;
                i = x, j = y;
                shortest_path.push_back({ i, j });
            }
            for (int k = shortest_path.size() - 1; k >= 0; k--) cout << '(' << shortest_path[k].first << ", " << shortest_path[k].second << ')' << endl;
            return;
        }
        for (int i = 0; i < 4; ++i)
        {
            int x = u.x + dx[i];
            int y = u.y + dy[i];
            Node t = { x, y, u.dis };
            if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] != '#')
            {
                path[x][y] = { u.x, u.y };
                if (g[x][y] == 'X')
                    t.dis += 2;
                else
                    t.dis += 1;
                g[x][y] = '#';
                q.push(t);
            }
        }
    }
    cout << "impossible" << endl;
}

int main()
{
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    while (cin >> n >> m)
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            cin >> g[i];
            for (int j = 0; j < m; ++j)
            {
                if (g[i][j] == 'S')
                    sx = i, sy = j;
                if (g[i][j] == 'T')
                    tx = i, ty = j;
            }
        }
        bfs();
    }
    return 0;
}

3.八数码

题目描述：

在一个 3×3 的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 x 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

1 2 3
x 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 x 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 x

例如，示例中图形就可以通过让 x 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
x 4 6   4 x 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 x 8   7 8 x

现在，给你一个初始网格，请你求出得到正确排列至少需要进行多少次交换。

输入格式：

输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3 
x 4 6 
7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式：

输出占一行，包含一个整数，表示最少交换次数。

如果不存在解决方案，则输出 −1。

输入样例：

2 3 4 1 5 x 7 6 8

输出样例：

19

代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include 
using namespace std;

int bfs(string start)
{
	queue<string> q;
	unordered_map<string, int> d;

	q.push(start);
	d[start] = 0;

	int dx[4]{1, 0, -1, 0}, dy[4]{0, 1, 0, -1};

	string end = "12345678x";

	while (q.size())
	{
		auto t = q.front();
		q.pop();

		if (t == end) return d[t];

		int distance = d[t];
		int k = t.find('x');
		int x = k / 3, y = k % 3;
		
		for (int i = 0; i < 4; i++)
		{
			int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
			if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3)
			{
				swap(t[a * 3 + b], t[k]);
				if (!d.count(t)) // count(key)用于检查键key是否存在于映射中
				{
					d[t] = distance + 1; // 记录转换次数
					q.push(t);
				}
				swap(t[a * 3 + b], t[k]); // 还原状态遍历其他转换
			}
		}
	}
	return -1;
}

int main()
{
	string start;
	char c;
	for (int i = 0; i < 9; ++i)
	{
		cin >> c;
		start += c;
	}
	cout << bfs(start) << endl;
	return 0;
}