DCT离散余弦变换

原文网址：http://blog.csdn.net/newchenxf/article/details/51719597

2.1 以8x8的图象块为基本单位进行编码

如下图所示。比如一个160x160大小的原始图像，就可以分成20x20个8x8图像块。

这里写图片描述

每个图像块共64个像素。像素可以用RGB或YUV表示，需要3个byte。所以严格来说，上图3个箭头代表的数据，指的是RGB/YUV的某一个值，比如Y。

2.2 将RGB转换为亮度-色调-饱和度系统（YUV），并重新采样

YUV是什么？它也是一种很不错的图像数据表示方法，特别是在视频领域。
Y：指颜色的明视度、亮度、灰度值；
U：指色调；
V：指饱和度。

YUV是一个统称，其实有很多具体格式，比如YUV420, YUV444, YUV422。
YUV的某些格式，和RGB比起来，其数据量要少很多。
比如YUV420，每个像素需要一个Y，每4个像素需要一个U/V，因此一个8*8图像块，数据量只要8x8x3/2 = 96byte。而RGB需要8x8x3 = 192byte。少了一半的数据量。现在很多视频都是YUV420作为色域。
当然啦，在本次转换，用的是YUV444， 也就是每个像素都有YUV的值。

YUV与RGB可以互相转换。
Y=0.299R+0.587G+0.114B
U=0.148R-0.289G+0.473B
V=0.615R-0.515G-0.1B

2.3 FDCT与IDCT

一个是正变换，一个是逆变换。反正都可以称为离散余弦变换。
根据8*8的二维DCT定义

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其中：0<= u, v < 8

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a(v) = a(u)

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是输入8x8像素的坐标。

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是输出的8x8变换结果的坐标。

不要把上式看的有多难，也不要被“离散余弦变换”这个词给吓到，其实他没什么（如果你非要去追究，那就打开“信号与系统”的书复习一下吧，我拦不住你哈），上式其实就是一个运算公式而已。
输入就是8x8的数据矩阵，经过计算，输出还是一个8x8的数据矩阵。
其实上式可以简化为：

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并且A和A转置矩阵都是已知的。所以，说白了，就是个矩阵运算。对程序来说，很简单。

称G（0,0），也就是输出8x8矩阵的（0,0）坐标的值，为直流系数，其他为交流系数。
之所以称它为直流系数，是因为当u, v = 0时，cos()结果都为0，所以最后结果就是输入矩阵的8x8的每个数值的和，再乘于a(u) x a(v) x 1/4 = 1/8。

当然了，输入数据其实是有3个的，也就是YUV，因此对每个8x8的原始图像数据，需要做3次DCT。

2.4 量化与反量化

定义：将DCT变换后的临时结果，除以各自量化步长并四舍五入后取整，得到量化系数。
为什么可以量化？！
因为经过DCT后，数据就不同了，左上方都是大数值，右下方都是小数值。比如左上方都是几十几百的，右下方附近，都是个位数，那么，大数值和小数值就可以分别量化。

在术语里，左上方称为低频数据，右下方称为高频数据。
你要是不理解，可以这么想，既然G（0,0）都是直流分量了，那频率不就是0？不就是所谓的低频？^^

还是不理解？好吧，那你也可以这么想：
比如cos(ax)，a是常数，x是变量。那么，根据频率f = a/2π，a越大，函数的频率越高。
看看DCT公式：

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u,v 越大，则越在右下方对吧。当计算某个G(u, v)时，x, y是变量，u, v相当于常数，当u/v越大，则频率越高！
这就是为啥右下方称为高频数据了！

好了，别走偏了，还继续说量化。
JPEG系统分别规定了亮度分量和色度分量的量化表，色度分量相应的量化步长比亮度分量大。

对量化系数的处理和组织
思想：JPEG采用定长和变长相结合的编码方法。
直流系数：通常相邻8*8图象块的DC分量很接近，因此JPEG对量化后的直流分量采用无失真DPCM编码。通常JPEG要保存所需比特数和实际差值。

交流系数：经过量化后，AC分量出现较多的0。JPEG采用对0系数的行程长度编码。而对非0值，则要保存所需数和实际值。
ZIG-ZAG排序：为使连续的0个数增多，采用Z形编码。

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你要是不理解，看看下面的例子，就知道为啥ZIG-ZAG可以俘获更多的0了！

3 应用举例

3.1 编码

某个图象的一个8*8方块，的亮度值。

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由于一个字节是0_{255，为了减小绝对值波动，先把数值移位一下，变成-128}127。

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接着，根据DCT变换公式，各种计算，获得临时结果。

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根据亮度量化表量化后得到的量化系数矩阵

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获得量化结果：

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可见，新的数据，很小，很多是0。正如上文所说，这么多0，完全可以用游程编码，大大缩小数据量。

3.2 解码

先游程编码恢复为

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然后，根据量化表，恢复

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再根据反离散余弦变换的公式：

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结果为：

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再右移127，恢复原始。

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和原始图像的数据相比，基本是一样的，或者近似的！