算法与数据结构——算法和算法分析

1. 算法定义

解决问题的方法和步骤。在计算机中表现为指令的有限序列。其中每条指令表示一个或多个操作

2.算法的描述

程序=数据结构+算法

数据结构通过算法来实现操作

3. 算法的特性(确定、有穷、可行、输入、输出)

1.有穷性：算法在执行有限步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤都在可接受的时间范围内完成。当然这里的有穷并不是纯数学意义的，而是在实际应用中合理的、可以接受的“边界”。你说你写一个算法，计算机需要算上20年，一定会结束，他在数学上是有穷的，媳妇都熬成婆了，算法的意义

就不大了。

2.确定性：算法的每一个步骤都有确定的含义，不会出现二义性(不会有歧义)。

3.可行性：算法中的所有操作都可以通过已经实现的基本操作运算执行有限次来实现。

4.输入：一个算法有零个或多个输入。当用函数描述算法时，输入往往是通过形参表示的，在它们被调用时，从主调函数获得输入值。

5.输出：一个算法有一个或多个输出，它们是算法进行信息加工后得到的结果，无输出的算法没有任何意义。当用函数描述算法时，输出多用返回值或引用类型的形参表示。

4. 算法的设计要求

好的算法应该具有正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低的特征。

1.正确性(Correctness)：能正确的反映问题的需求，能得到正确的答案。

分以下四个层次：

1. 算法程序没有语法错误；

2. 算法程序对n组输入产生正确的结果；

3. 算法程序对典型、苛刻、有刁难性的几组输入可以产生正确的结果；

4. 算法程序对所有输入产生正确的结果；

但我们不可能逐一的验证所有的输入，因此算法的正确性在大多数情况下都不可能用程序证明，而是用数学方法证明。所以一般情况下我们把层次3作为算法是否正确的标准。

2.可读性(Readability)：算法，首先应便于人们理解和相互交流，其次才是机器可执行性。可读性强的算法有助于人们对算法的理解，而难懂的算法易于隐藏错误，且难于调试和修改。

3.健壮性(Robustness)：当输入的数据非法时，好的算法能适当地做出正确反应或进行相应处理，而不会产生一些莫名其妙的输出结果。【健壮性又叫又名鲁棒性即使用棒子粗鲁地对待他也可以执行类似于Java预料到可能出现的异常并对其进行捕获处理】

4.(高效性)时间效率高和存储量低

5. 算法的时间复杂度

分析算法时间复杂度的基本方法：

• 1.找出语句频度最大的那条语句作为基本语句；

• 2.计算基本语句的频度，得到问题规模n的某一个函数；

• 3.取其数量级用O表示
  
  基本语句：执行次数最多；对算法运行时间贡献最大；嵌套最深的语句。

• 常数阶

• 线性阶
  for(int i =0; i

• 对数阶
  
  

• 平方阶
  

• 立方阶
  
  

最好、最坏和平均时间复杂度

有的情况算法的基本操作重复执行的次数还随问题输入的数据集不同而不同

最好的情况a0=e执行1次

最坏数组中没有e/an-1=e执行n次

最坏时间复杂度是指在最坏情况下算法的的复杂度；
最好时间复杂度是指在最好情况下算法的的复杂度；
平均时间复杂度是指算法在所有可能情况下，按照输入实例以等概率出现时，算法计算量的加权平均值。

通常考虑最坏和平均但有时平均比较难计算只考虑最坏时间复杂度，最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间不会再坏了。

6. 算法的空间复杂度：算法要占据的空间

算法本身要占据的空间：输入/输出、指令、常数、变量等。

算法要使用的辅助空间。

7. 时间与空间的取舍

人们之所以花大力气去评估算法的时间复杂度和空间复杂度，其根本原因是计算机的运算速度和空间资源是有限的。就如一个大财主，基本不必为日常的花销而伤脑筋，而一个没有多少积蓄的普通人则不得不为日常的花销精打细算。对于计算机系统来说也是如此，虽然目前计算机的CPU处理速度不断飙升，内存和硬盘空间也越来越大，但是面对庞大而复杂的数据和业务，我们仍要精打细算，选择最有效的利用方式。

举个例子说，要判断某年是不是闰年，你可能会花一点心思来写一个算法，每给一个年份，就可以通过这个算法计算得到是否闰年的结果。

另外一种方法是，事先建立一个有2050个元素的数组，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，则此数组元素的值是1，如果不是元素的值则为0。这样，所谓的判断某一年是否为闰年就变成了查找这个数组某一个元素的值的问题。

第一种方法相比起第二种来说很明显非常节省空间，但每一次查询都需要经过一系列的计算才能知道是否为闰年。第二种方法虽然需要在内存里存储2050个元素的数组，但是每次查询只需要一次索引判断即可。

这就是通过一笔空间上的开销来换取计算时间开销的小技巧。到底哪一种方法好？其实还是要看你用在什么地方。但在绝大多数情况下，时间复杂度更重要一些，我们宁愿多分配一些内存空间也要提升程序的执行速度。