高中奥数 2022-03-10

2022-03-10-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P041 习题01）

设.求证:

证明

原不等式等价于.而与同号或同为零,故结论成立.

2022-03-10-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题02）

设;,则

证明

原不等式等价于,即.

2022-03-10-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题03）

设是给定的正整数,,对于个给定的实数,记为的最小值.求在的条件下,的最大值.

解

设,则

因此,

又由于,

故,易见等号成立的条件.

2022-03-10-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题04）

求所有的正整数,使得

其中,且.

解

显然,且..

由条件可得.

上面不等式对求和,得

当时,由题设及上式,.则

故.

当=1、2、3时,同样可求得,,.

所以,故没有,因此,所求的正整数,,,.

2022-03-10-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P042 习题05）

设是不全相等的个正数,且满足,求证:

证明

原不等式等价于.

由Lagrange恒等式,.

不难验证,对,有,

因此,等号不能成立.