leetcode：4.寻找两个正序数组的中位数

4. 寻找两个正序数组的中位数

这个题可以就用最普通的合并两个数组或者双指针来做，不过这样做时间复杂度为O（m + n），达不到题目要求的log。所以只有利用二分查找的思路来做。

我们要找中位数，假设中位数是两个数组合并后的第k个数（我们这里说的第k是从下标为1数着走的），其实我们要找的就是两个数组中第k小的数，对于数组总长为偶数的两个数组，要找的就是第k小和第k+1小的数。所以现在问题转变为找两个正序数组中第k小的数了。

比较两个数组k/2的位置（即A[k/2-1]和B[k/2-1]），如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，则说明对于A[k/2-1]，最多只有(k/2 - 1 + k/2 - 1 = k - 2)个元素比它小（因为A[k/2-1]和B[k/2-1]前面都有k/2 - 1个元素），所以对于A[k/2 - 1]最多只是第k - 1小的数，至于A[k/2 - 1]前面的数，更不可能是第k小的数了，所以包含A[k/2-1]在内的k/2个数都不可能是第k小的数，可以舍弃。舍弃之后我们更新k的值，因为现在我们要找的是新的A的数组和B数组加起来第k小的值了，而前面k/2个数已经找到了，所以k = k - k/2；同样的，如果A[k/2-1] >= B[k/2-1]是一样的道理。

注意下面三种情况：

• 如果 A[k/2-1]或者B[k/2-1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去k/2（即我们每次减掉的是我们排除的值而不是固定的k/2）。

• 如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。

• 如果k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

代码如下：

class Solution {
private:
    int findKMinNum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, int k) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        int index1 = 0, index2 = 0;
        while (true) {
            if (index1 == m) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == n) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }
            int new_index1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);
            int new_index2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);
            int pivot1 = nums1[new_index1];
            int pivot2 = nums2[new_index2];
            if (pivot1 < pivot2) {
                k -= new_index1 - index1 + 1;
                index1 = new_index1 + 1;
            }
            else {
                k -= new_index2 - index2 + 1;
                index2 = new_index2 + 1;
            }
        }
    }
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int sum = nums1.size() + nums2.size();
        if (sum % 2 == 1) {
            return findKMinNum(nums1, nums2, (sum + 1) / 2);
        }
        else {
            return (findKMinNum(nums1, nums2, sum / 2) + findKMinNum(nums1, nums2, sum / 2 +1)) / 2.00;
        }
    }
};