构造勾股数组的公式

勾股定理证明出了直角三角形最重要的性质之一，那就是直角边的平方和等于斜边的平方，用公式来表达也就是：a²+b²=c²，因此我们也把满足这一个公式的三个正整数称为勾股数（比如3，4，5；5，12，13）那么是否可以有一套公式来构造勾股数组呢？

最早想到这一点的是毕达哥拉斯学派，他们于是给出了自己的一套构造勾股数组的公式：

以3，4，5为例：4=1×（3+1）

以5，12，13为例：12=2×（5+1）

以7，24，25为例：24=3×（7+1）

相当于在一组勾股数中，中间大的数都可以使用第1个数来表示出来，同时我们可以把第3个数用第2个数加一表示出来，并且我们发现如果这三个数符合这样的规律，就刚好可以是一组勾股数，那么这究竟是一个什么样的规律呢？

中间大的数都可以表示成两个整体相乘，由一个数组成的整体，有什么规律呢？我们会发现，当这三个数中最小的数是最小的奇数的时候，要乘以的也就是一，当这三个数中最小的数是倒数第2小的奇数的时候，要乘以的也就是2，那么这个由单个数组成的乘数就好找规律了，如果我们把最小的数表示成a（规定a为奇数），我们就可以把第2个数的由单个整数组成的成数表示成：

（a-1）/2

有两个数组成的乘数就好表示了，也就是a+1

于是当第1个数是a（奇数）时，第2个数也就是：[（a-1）/2]×（a+1）

根据上面举的特例的规律，就会发现最大的数就是[（a-1）/2]×（a+1）+1

然后再通过代数的方法证明一下，这三个数刚好就是勾股数：

{[（a-1）/2]×（a+1）+1}²

=[（a²-1）/2]²+1+2[（a²-1）/2]

=（a²-1）²/4+1+a²-1

=（a⁴-2a²）/4+a²

a²+{[（a-1）/2]×（a+1）}²

=a²+（a²-1）²/4

=a²+（a⁴-2a²）/4

=（a⁴-2a²）/4+a²

因此在代数的层面，我们也可以证明我们这一组公式所构建出的数组确实是勾股数。

那么假设a是个偶数，很明显就不能使用这一套公式来构建勾股数了（因为这一套功是指在a是奇数的时候有效），那么当a是偶数时，是否有一套新的公式来构造与之对应的勾股数组呢？

也是有的。

可以再观察一下构造奇数时中间大的数的表达式：[（a-1）/2]×（a+1）

如果把它稍微换一下，也就会变成：

（a²-1）/2

相当于我们就会发现中间大的数的两倍，应该比最小的数的平方差了一，那么在寻找偶数的关系式的时候，是否我们也可以猜想最小的数的平方和中间大的数的几倍之间有一个特定的差呢？

以6，8，10为例

6的平方是36，8的4倍和6的平方，差的最近是32，因此可以做出猜想：设最小的数为a（偶数），中间大的数也就是（a²-4）/4

再以8，15，17为例

8的平方是64，15的4倍是60，和8的平方之间也差了4，可见猜想应该是正确的，且通过观察，我们会发现最大的数和中间大的数差了2，

所以最大的数也就是：（a²-4）/4+2

最后就需要用代数来证明一下我们的猜想是否正确，最终的答案肯定是正确的，但是这里为了方便就不再做以证明了。

因此在现在的状态下，任何人随便给出一个a的值，在判断完它是奇数或者偶数之后，我们就可以马上用刚才找到的规律来构造出一组与之相对应的勾股数，这便是对于构造勾股数公式的探索。