2019-10-27 平面上可用尺规作图的点

本文主要研究，平面上哪些点可以用直尺和圆规做出来

首先，我们用复数表示平面上的点,这样平面上每个点都可以由唯一的复数确定，平面上的点能作出也即对应的复数能作出。

前提：直尺无刻度，圆规可绘制任意长度半径，点默认可以做出；

下面研究哪些点可以用直尺和圆规作出，下文中“可作出”如无特殊强调均指“可用直尺和圆规作出,对于虚部为0的点，一般省略掉虚部,实部为0的点则省略掉实部，同时为了简单，我们用集合G表示平面上所有可作出的点组成的集合，如果点x+yi可作出，则记为:

1)，
证明：
首先，利用点 ,以及圆规，以为圆心，1为半径，作圆与过0,1的直线交于2点，其中一点是,第二点是,则可作出。
类似，利用为圆心，可作出,...类似可以做出, (n>0)
利用也可以作出, 类似... 可作出(n>0)
综上，任意整数可以做出

2)，给定平面上任意2点，可以作出其中点
证明：
设2点距离为r，利用圆规，以a>r/2为半径，分别以2点为圆心作圆，两圆有2个交点，过2个交点作直线与原直线相交，该交点即为中点。

3), 给定一直线和一点x+yi，利用直尺和圆规可作出过该点且与该直线垂直的直线
证明：
利用圆规，以点x+yi为中心，半径大于点到该直线的距离为半径，则可以作圆与直线交于两点p1,p2, 再利用2) 作p1,p2的中点，则该点与点x+yi的连线即所求

4),给定一直线l和一点x+yi, 可作出过该点与原直线平行的直线
证明：
利用3)作出过点x+yi且与l垂直的直线l'，再依据3)利用x+yi和l'，作出与过x+yi且与l'垂直的直线l'',则l''就是所求

利用点以及直线,可作出直线并作出点,通过类似1)的方法可以作出任意点
类似，利用m+0i以及类似方法，可作出任意点
至此，概括为任意复整数都可以作出
证明：利用比例关系
利用点
作直线 l 过(0+xi,1+0i)，并过0+1i作直线 l' 与l平行，且与x轴交于a+0i,
显然，利用相似三角形对应边成立，得到a=1/x
一般，利用圆规，如果数字
证明：显然，利用分别与y轴和x轴平行的直线可作出
证明：
显然x+yi 可作出意味着x,yi分别可作出，
只需证明nx可作出，类似可证nyi可作出，从而nx+nyi也可作出。
利用圆规以x为圆心,x为半径作圆与x轴交于2x,类似可走出3x,...nx,易证对n为负数也成立，综上证明完毕
任意有理数可作出，从而可作出
证明:
利用6) 1/q可作出，利用9) p/q可作出，证毕
,且
证明：
显然，利用勾股定理，通过,可作出长度

...

证明完毕
如果可作出, 可作出 , 显然可作出;
证明：通过找关于原点的中心对称点即可
如果x可作出，y可作出，则可作出
证明:
利用比例关系
先做出, 过作直线平行，利用相似三角形则与轴交点为;

15)如果可作出，可作出，则可作出
证明:

利用 13) ,可作出 ac,bd,ad,bc,进而作出 ac-bd,ad+bc, 证毕

证明:

证明完毕
证明：利用上文
证明: 根据11) , 根据10)
根据12)
利用11)

利用17)
则

则
证明完毕；
证明:

设
设
则
利用18) 中类似方法，得到
类似，利用,可以进一步证明,...
直到
证明完毕
根据以上分析，得到，一般来说对于平面上的点x+yi 满足:
为可通过有理数，进行有限次 +，-,*,\ 开2次根号运算所得到的数字，
则
用更严谨的语言来说 :如果存在 2次域扩张
使得，则可尺规作图 $