小乐数学科普：RUDN大学数学家提出一种求解电报方程的方案

RUDN大学（俄罗斯人民友谊大学）的一位数学家提出了一种稳定的差分方案，用于求解椭圆形电报和微分方程的反问题，该方程用于描述生物学，物理和社会学过程。研究结果发表在《偏微分方程数值方法》（Numerical Methods for Partial Differential Equations）杂志上。

椭圆方程是偏导数中的一类微分方程，除其他事项外，它们还用于建模与时间无关的过程。

电报方程（telegraph equation）又名传输线方程，是描述传输线上任意点电压、电流与传输线一次参数之间关系的微分方程组。——百度百科

电报方程以非平稳形式表示。它们最初是通过电报通信线路获得的，但如今，它们也已用于建模昆虫的运动，血液通过静脉的流动以及建筑材料发生的变化。此外，它们可以被反转，即用于基于已知的过程特征找到变化的来源，例如，为了医学诊断的目的，识别材料损坏的原因或创建光学断层摄影图像。对于这样的问题，通常很难获得准确的解决方案，因此，最初的问题被简化为一个更简单的方程组，该方程组可以为正确答案提供一定程度的近似答案。RUDN大学的一位数学家提出了一种使用计算机来获取椭圆形电报方程的反问题解的算法。

“建模系统越复杂，它包含的参数越多，计算就越困难。但是，尽管任务很复杂，但现代计算机仍可用于搜索微分方程的近似解。我们旨在获得椭圆的空间识别问题的近似解的绝对稳定差分方案。我们的工作可以帮助将这些方法进一步应用到各种过程的建模中，”RUDN大学高等数学系的物理学和数学博士学位的Allaberen Ashyralyev教授说 。

获得近似解的一种方法是用差分方案代替初始问题。将研究区域变成具有给定步长的网格，然后将函数替换为nod值。数学家提出了一个差分方案，然后进行了分析和数值研究。第一种方法用于确认方案的绝对稳定性，第二种方法（数值实验，即应用该方案的方程式）支持分析结果。科学家设法证明了该方案是绝对稳定的，并且与所选的计算步长无关。

RUDN大学的Allaberen Ashyralyev教授补充说：“类似的椭圆电报方程式用于对生物系统，社会现象和工程过程进行建模。绝对稳定的差分方案可以帮助专家们更好地研究这些问题。”

译自EurekAlert.org 2021-2-11 译者：zzllrr小乐 2021-2-13