二叉树详解

目录: 

1. 树型结构
   1. 概念
   2. 树的表示形式
   3. 树的应用
2. 二叉树
   1. 概念
   2. 二叉树的基本形态
   3. 两种特殊的二叉树
   4. 二叉树的性质
   5. 二叉树的存储
   6. 二叉树的基本操作
   7. 基础刷题巩固
   8. 二叉树的层序遍历
   9. 进阶刷题巩固
   10. 前中后序的非递归实现

1.树型结构

概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的

 

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示形式：

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法：

class Node {
        int value; // 树中存储的数据
        Node firstChild; // 第一个孩子引用
        Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

树的应用：

文件系统管理（目录和文件）

 

2.二叉树

概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

• 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
• 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

二叉树的基本形态：

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。
 

两种特殊的二叉树：

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，除了最后一层，其他层都是满的。最后一层的节点都集中在该层的左侧，而没有右侧的节点。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

完全二叉树的判断：

二叉树的性质：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1. 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2. 若2i+1
   3. 若2i+2

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中_____个叶子节点，_____个非叶子节点，_____个节点只有左孩子，_____个只有右孩子。
 

二叉树的存储

二叉树的基本操作

基础刷题巩固

二叉树的层序遍历

进阶刷题巩固

前中后序的非递归实现