最长递增子序列(21-03-05)

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104

进阶：

• 你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解题思路
1、先从小范围进行比较，假如当前数字是第 i 个位置，我们先看i 之前得位置，不看后面得数，如果从0这个位置开始这样可以得到每个值得最长长度，比喻 10,9,2,5,3,7,101,18,我们先从第一个看起，10最长长度为1，9一样为1，2也是1，5是2，3是2，7是3，101是4，那么，怎么表达出来呢？
2、 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); 这段代码首先需要第i个位置得数跟前面得每一个值进行比较，假如现在是在 数值5这个位置，前面得 10，9，2，最长序列全部都是1

• 数值2这个位置得时候，2<5,执行dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); dp[j] + 1=2，dp[i]=2；这个地方得长度是2，所以长度就变成了 1，1，1，2，
• 数值3得时候，2<3,数值2得dp[j]=1 ，所以dp[j] + 1=2，dp[i]=2；
• 数值7得时候 2<7 dp[j] + 1=2 dp[i]=2; 然后是 5<7 dp[j] + 1=3 dp[i]=2 3<7 dp[j] + 1=2 但是dp[i]取最大得，所以为3
• 数值101得时候 2<101 dp[j] + 1=2 dp[i]=2; 然后是 5<101 dp[j] + 1=3 dp[i]=2... 其中 7得位置最长长度为3，但是它小于101，再加一个1，就是dp[i]=4
  代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) { //只比较 i 前面得数
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);  //这样可以得到当前数得最长子列
                }
            }
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]); 
        }
        return maxans;
    }
}