LeetCode 918. Maximum Sum Circular Subarray【数组,动态规划】中等

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。

环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 3 * 10^4
• -3 * 10^4 <= nums[i] <= 3 * 10^4
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解法 动态规划

首先要掌握好53题，最大子数组和的动态规划解法.

这题一共有两种情况（也就是比53题多了一种「最大非空子数组和是首尾连接」的情况） 下面的这个子数组指最大和的子数组。

• 第一种情况：这个子数组不是环状的，就是说首尾不相连。
• 第二种情况：这个子数组一部分在首部，一部分在尾部，我们可以将这第二种情况转换成第一种情况。如下图：
  

所以这最大的环形子数组和 = $\max (最大子数组和,数组总和-最小子数组和)$ 。

证明：第二种情况（最大子数组是环形的） $$\begin{gathered} \max (前缀数组+后缀数组)=\max (数组总和-subarray) \\ =数组总和+\max (-subarray) \end{gathered}$$ 数组总和是不变的，直接提出来 $=数组总和-\min (subarry)$ 。$subarray$ 指的是前缀数组和后缀数组中间的数组。再把负号提出来，$\max$ 变成 $min$ 。

极端情况：如果说这数组的所有数都是负数，由于要返回非空子数组的和，那么上面的公式还需要变一下，因为这时，对于上面的情况①，$sum$ 会等于数组中的最大值，而情况② $sum=0$（最小的子数组就是本数组，$total-total=0$ ）。所以多加一个Case，判断最大子数组和是否小于0，小于0，直接返回该 $maxSubArray$ 。

令 $total$ 为数组的总和，$maxSum$ 为最大子数组和，$minSum$ 为最小子数组和，$curMax$ 为包含当前元素的最大子数组和，$curMin$ 为包含当前元素的最小子数组和。

class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
        int total = 0, maxSum = nums[0], curMax = 0, minSum = nums[0], curMin = 0;
        for (int num : nums) {
            curMax = max(curMax + num, num);
            maxSum = max(maxSum, curMax);
            curMin = min(curMin + num, num);
            minSum = min(minSum, curMin);
            total += num; 
        }
        return maxSum > 0 ? max(maxSum, total - minSum) : maxSum;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$