【点灯游戏】高斯消元法求解异或方程组

有没有玩过“亮灯游戏”？

有一个5*5的灯阵，初始状态全是灭的，选择一个灯进行点亮，点亮的同时若其上下左右存在灯，则需要将其一同点亮，如何操作可以点亮所有的灯？

来拆解一下这个解谜：

• 首先灯只有点亮和熄灭两个状态，可以计作1和0，初始状态是一个5*5的矩阵，值均为0，目标通过一系列操作，把所有值修改成1。

• 其次，一个灯的状态被改变两次，等于恢复初始值，所以对于矩阵中的每个值，要么操作一次，要么不操作。

• 再看影响范围，位于中间部分的点，一次操作影响5个值；位于边上的点，一次操作影响4个值；位于角上的点，一次操作影响3个值。

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• 然后来看点灯操作的实质，若原来状态是0，则操作过后变为1，反之，原来状态是1，则操作之后变为0。这个操作本质上可以看做和1进行异或运算，0^1=1; 1^1=0。

• 最后来看最终解的形态，值得注意的是，灯的状态和操作的顺序无关，先点A再点B和先点B再点A达到的终态是一样的（参考下图），所以最后的解应该也是一个5*5矩阵，其中值为1代表这个灯需要点，值为0代表这个灯不需要点。点灯顺序不重要。

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综合以上几点，点灯问题本质上就被抽象为一个异或方程组，以3*3为例：

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xn的取值0或1，代表该位置灯是否操作。

x1位置灯的状态受x1,x2,x4是否被点的影响，最终目标状态为1，所以可以写成：x1^x2x4=1

同理对应x2位置，可得x1^x2x3^{x5=1，对于x5位置，x2}x4^x5x6^x8=1

这样，有n个灯和n个位置，就可以构建异或方程组。

根据本科线性代数的知识，方程组可以写成Ax=B的格式，通过高斯消元法来求解。求解方法是先通过线性变化，把矩阵转换为上三角阵，然后倒序确定所有变量的值。具体过程去翻教材或者百度吧。

下面来看具体代码实现。

首先定义一个Pos类，表示谜题矩阵中的元素，包含值、所在行、列、统一编号index等。

class Pos {
    private int x;
    private int y;
    private int row;
    private int col;
 
    int getX() {
        return x;
    }
 
    void setX(int x) {
        this.x = x;
    }
 
    int getY() {
        return y;
    }
 
    void setY(int y) {
        this.y = y;
    }
 
    int getRow() {
        return row;
    }
 
    void setRow(int row) {
        this.row = row;
    }
 
    int getCol() {
        return col;
    }
 
    void setCol(int col) {
        this.col = col;
    }
 
    Pos getPosByIndex(int index){
        this.setX((index-1)/this.col);
        this.setY((index-1)%this.col);
        return this;
    }
 
    int getPosIndex(){
        return this.x*this.col + this.y + 1;
    }
 
    boolean isInside() {
        return this.x >= 0 && this.x < this.row && this.y >= 0 && this.y < this.col;
    }
 
    Pos getPosByOffset(int dx, int dy){
        Pos pos = new Pos();
        pos.row = this.row;
        pos.col = this.col;
        pos.x = this.x + dx;
        pos.y = this.y + dy;
        return pos;
    }
}

然后来看主程序，大致包括这么几个阶段：

1. 读取初始谜题矩阵
2. 将谜题矩阵转换为异或方程组
3. 求解方程组
4. 给出解答矩阵

public class XorLinearEquation {
 
    private static final int[][] towards = {{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
    private static int total;
    private static int[][] A;  //异或方程组
    private static int[][] puzzle;  //谜题矩阵
    private static int[][] answer;  //解答矩阵
    private static boolean haveLegalAnswer;
 
    private static void getEquations(){
        int rows = puzzle.length;
        int cols = puzzle[0].length;
        answer = new int[rows][cols];
        total = rows * cols;
        A = new int[total +2][total +2];
 
        Pos pos = new Pos();
        pos.setRow(rows);
        pos.setCol(cols);
 
        for(int i=0;i=1;i--){
            //若矩阵一行左侧所有元素为0，而右侧不为0，则方程无解
            if(!legalJudge(i)){
                haveLegalAnswer = false;
                break;
            }
            pos = pos.getPosByIndex(i);
            //从上三角矩阵右下角获取解
            answer[pos.getX()][pos.getY()] = A[i][total+1];
            //遍历检查上方行数该列是否为0，若不为0，则将结果列异或进行消元
            for(int j=i-1;j>=1;j--){
                if(A[j][i]==1){
                    A[j][total+1]^=A[i][total+1];
                }
            }
        }
    }
 
    private static boolean legalJudge(int index){
        for(int i = 1;i<=total;i++){
            if(A[index][i]!=0){
                return true;
            }
        }
        return A[index][total + 1] == 0;
    }
 
    private static void showAnswer(){
        for (int[] anAnswer : answer) {
            System.out.println(Arrays.toString(anAnswer));
        }
    }
 
    public static void main(String[] args){
        // initialize puzzle
        puzzle = new int[5][5];
        //====================================
        // Solve by Gauss elimination
        haveLegalAnswer = true;
        for (int[] aPuzzle : puzzle) {
            System.out.println(Arrays.toString(aPuzzle));
        }
        System.out.println("===============");
        getEquations();
        gauss();
        if(haveLegalAnswer) {
            showAnswer();
        } else {
            System.out.println("The puzzle has no solution! ");
        }
 
    }
}

对于开头的问题，初始矩阵就是5*5的值均为0的二维数组，求解结果如下：

image.png