关于位运算的新发现（2021年06月22日）
发现历程
2021年06月21日晚上，在做算法题的时候遇到了二进制的位运算相关内容，位运算包括与运算、或运算、异或运算、取反等等。
我感觉平时在编程的时候更多的是主要用加减乘除以及求余数运算，在位运算这方面比较欠缺和薄弱，于是我打算先探索一下二进制位运算中的 与运算 的规律。
与运算方法
6 & 2 = 2
6 的二进制表示是 110， 2的二进制表示是 10
所以按位与运算就是
110 010 --- 010每一个位相互比较，如果都是1，那么这一位的结果就是1，其他情况就是 0
结果是 010，就是2
我打算把所有数字与所有数字的与运算写出来，就像九九乘法表一样，做成一个16x16的表格，看看有没有规律
（由于是草稿，写的字比较潦草）
好像是有一点规律，但是表格太大了，看着也不够整齐，于是我想用编程的方式直接输出，这样更加方便
for i in range(16):
for j in range(16):
n = i & j
print(n, end="\t")
print()
输出结果
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 0 0 4 4 4 4 0 0 0 0 4 4 4 4
0 1 0 1 4 5 4 5 0 1 0 1 4 5 4 5
0 0 2 2 4 4 6 6 0 0 2 2 4 4 6 6
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 8 8 8
0 1 0 1 0 1 0 1 8 9 8 9 8 9 8 9
0 0 2 2 0 0 2 2 8 8 10 10 8 8 10 10
0 1 2 3 0 1 2 3 8 9 10 11 8 9 10 11
0 0 0 0 4 4 4 4 8 8 8 8 12 12 12 12
0 1 0 1 4 5 4 5 8 9 8 9 12 13 12 13
0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
右下角的两位数部分好像有一点奇怪的形状，
于是我继续扩大范围，发现了这所有二位数的部分似乎组成了一个奇妙的形状！这让我想起了分形结构。
于是我觉得应该还可以再直观可视化一些，于是我就让程序输出成一张图片，我们都知道图片通常是有像素点矩阵组成的像素点，矩阵里的数字可以用像素点的亮度，也就是灰度来表示，这样就更加直观了。
于是我改了一下代码，由于像素点太小了，我顺便也扩大了表格的边界到256
N = 256
im = Image.new('RGBA', (N, N), (0, 0, 0))
for i in range(N):
for j in range(N):
n = i & j
im.putpixel((i, j), (n, n, n))
im.show()
图片出现了明显的分形结构，越白的地方就是数字越大的地方。纯黑的像素是0。
我改变边长，将256扩展到2048，由于有些数字太大了，就导致是纯白了。这里的分形结构就变得更明显了。
由于颜色的表示方式是 三个数 (r, g, b)，r表示红色，g表示绿色，b表示蓝色，r，g，b三个数字的取值范围都是在[0, 256)。
我上面用亮度表示的方法是：n为一个数字，则颜色表示为：(n, n, n)，
其实还可以随意修改将数字转化为颜色的方式，比如 n<255时候只有蓝色分量的颜色 即 (0, 0, n)，在 n < 255x2 的时候，把它多出255的部分加到另一个颜色的分量上等等……
于是就可以有这样的图案
白色的部分，居然还出现了谢尔宾斯基三角形，这是一个著名的分形结构。看来这个矩阵里隐藏的规律很多呀。
随后我又在256边长、正常灰度的输出颜色的规则下，看了或运算
以及异或运算
他们在整体上似乎都有相似的纹理，但是有各有各的不同。
目前看来，与运算比或运算的图片暗淡，因为与运算中的结果大小不可能超过参与运算的两个数的大小。而或运算可以。
异或运算的图片，有一条明显的黑色的缝隙，这也很符合异或运算的特点，当参与运算的两个数一样的时候，没有任何一个位数是不同的，所以运算的结果就是0。
二进制似乎总是隐藏这各种各样的规律。我还需要继续学习。