【数据结构】树-树的存储（图解、树、森林与二叉树的转换）

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以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考。

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树的存储结构

• 树形结构是一对多的关系，除了树根之外，每一个节点有唯一的直接前驱（双亲），除了叶子之外，每一个节点有一个或多个直接后继（孩子）。

• 采用顺序存储和链式存储两种形式存储。

• 分别用两种方式存储下图树。

顺序存储

• 顺序存储采用一段连续的存储空间，因为树中节点的数据关系是一对多的逻辑关系，不仅要存储数据元素，还要存储他们之间的逻辑关系。

• 顺序存储分为： 双亲表示法、孩子表示法和双亲孩子表示法。

1.双亲表示法

• 除了存储数据元素之外，还存储其双亲节点的存储位置下标，其中 “-1” 表示不存在。每一个节点有两个域，即数据域 date 和双亲域 parent。

如图。

2.孩子表示法

• 除了存储数据元素之外，还存储其所有孩子的存储位置下标。

如图。

3.双亲孩子表示法

• 双亲孩子表示法是指除了存储数据元素之外，还存储其双亲和所有孩子的存储位置下标。

如图。

• 此方法其实就是在孩子表示法的基础上增加了一个双亲域。

• 是双亲表示法和孩子表示法的结合体。

三种表示法的优缺点

1. 双亲表示法：只记录了每个节点的双亲，无法直接得到该节点的孩子。
2. 孩子表示法：可以得到该节点的孩子，但是无法直接得到该节点的双亲，而且由于不知道每个节点到底有多少个孩子，因此只能按照树的度（树中节点的最大度）分配孩子空间，这样做可能会浪费很多空间。
3. 双亲孩子表示法：在孩子表示法的基础上，增加了一个双亲域，可以快速得到节点的双亲和孩子，其缺点和孩子表示法一样，可能浪费很多空间。

链式存储

• 由于树中每个节点的孩子数量无法确定，因此在使用链式存储时，孩子指针域不确定分配多少个合适。

• 如果采用“异构型”数据结构，每个节点的指针域个数按照节点的孩子数分配，则数据结构描述困难；

• 如果采用每个节点都分配固定个数（如树的度）的指针域，则浪费很多空间。

可以考虑两种方法存储：

1. 采用邻接表的思路，将节点的所有孩子存储在一个单链表中，称为孩子链表表示法。
2. 采用二叉链表的思路，左指针存储第一个孩子，右指针存储右兄弟，称为孩子兄弟表示法。

1.孩子链表表示法

• 孩子链表表示法类似于邻接表，表头含数据元素并指向第一个孩子指针，将所有孩子放入一个单链表中。

• 在表头中，data 存储数据元素，first 为指向第 1 个孩子的指针。单链表中的节点记录该节点的下标和下一个节点的地址。

如图。

• 孩子链表表示法中，如果在表头中再增加一个双亲域 parent，则为双亲孩子链表表示法。

2.孩子兄弟表示法

• 节点除了存储数据元素之外，还有两个指针域 lchild 和 rchild ，被称为二叉链表。

• lchild 存储“长子”地址，rchild 存储右兄弟地址。

• 孩子兄弟表示法秘诀：长子在左，兄弟向右。

存储方式如图。

树、森林与二叉树的转换

• 根据树的孩子兄弟表示法，任何一棵树都可以根据秘诀转换成二叉链表来存储。

• 二叉链表存储法中，每个节点都有两个指针域，也成为二叉树表示法。这样，任何树和森林都可以转换为二叉树，其存储方式简单多了。

• 这样就完美地解决了树中孩子数量无法确定，难以分配空间的问题。

• 树转换为二叉树的秘诀：长子当作左孩子，兄弟关系向右斜。

树和二叉树的转换

• 还原时，找准右兄弟。

森林和二叉树的转换

• 森林是由 m（0）棵不相交的树组成的集合。

• 可以把森林中的每棵树的树根看作兄弟关系。

• 还原时，把第一个节点的兄弟砍掉。

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总结

• 由于普通的树每个节点的子树个数不同，存储和运算都比较困难，因此在实际应用中，可以将树或森林转换为二叉树，然后进行存储和运算。

• 二者存在唯一的对应关系，因此不影响其结果。

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下期预告：二叉树的性质