线性代数拾遗(2)—— 何时用初等行变换,何时用初等列变换?

1. 适用场合

  1. 初等行、列变换可以混用
    1. 求矩阵/向量组的秩:初等变化不改变矩阵的秩(求向量组的秩也是先排成矩阵然后求矩阵的秩)
    2. 矩阵化行阶梯型矩阵(用来求秩):同上
    3. 矩阵化为等价标准形:根据定义,化标准形时要同时左乘和右乘可逆矩阵,相当于初等行列变换都做了
    4. 求行列式的值:只要求出数值就行。注意在初等变换时要同步记录对行列式值的影响(互换→反号,倍乘→变k倍,倍加→不变)
  2. 只能用初等行变换:
    1. 解线性方程组:只有行变换是线性方程组的同解变换
    2. 矩阵化行阶梯型矩阵(用来解线性方程组):同上
    3. 求特征向量:本质是解齐次线性方程组
    4. 求(列向量)极大线性无关组:对于列向量而言,初等行变换保持线性相关性(证明见第2节)
    5. 求逆矩阵(横向排列)
      在这里插入图片描述
  3. 只能用初等列变换:
    1. 求(行向量)极大线性无关组:对于行向量而言,初等列变换保持线性相关性(证明见第2节)
    2. 求逆矩阵(纵向排列)
      在这里插入图片描述

2. 初等行变换保持列向量的线性相关性

  • 考虑一个 n n n 元齐次线性方程组如下,它总共有 m m m 个显式约束
    { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + . . . + a m n x n = 0 \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=0 \\...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=0 \end{matrix}\right. a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=0...am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=0 提取出系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n,并把它用 n n n m m m 维列向量 a i = [ a 1 i , a 2 i , . . . , a m i ] ⊤ \pmb{a}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}]^\top aaai=[a1i,a2i,...,ami] 表示,原方程组变形为
    A x = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]\pmb{x} \\&= x_1\pmb{a}_1+x_2\pmb{a}_2 +...+x_n\pmb{a}_n \\&= \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx=[aaa1,aaa2,...,aaan]xxx=x1aaa1+x2aaa2+...+xnaaan=000 这样,任意一个列向量都可以写成用其他列向量表示的形式
    a i = − ∑ j ≠ i x j x i a j \pmb{a}_i = -\sum_{j\neq i} \frac{x_j}{x_i}\pmb{a}_j aaai=j=ixixjaaaj 这意味着,这组向量的线性相关性由线性方程组的解唯一确定

    1. ∃ x i ≠ 0 \exist x_i \neq 0 xi=0,对应的 a i \pmb{a}_i aaai 就真的能由其他列向量线性表示,这一组向量就线性相关了(这时有效方程数量少于未知数个数,齐次线性方程组有无穷多非零解)
    2. ∀ x i = 0 \forall x_i = 0 xi=0(即 x = 0 \pmb{x}=\pmb{0} xxx=000)时,这一组向量线性无关(这时有效方程数量等于未知数个数,齐次线性方程组有唯一的零解)
  • 对于线性方程组来说,对它做初等行变换是不改变解的(这正是高斯消元法的理论基础)。因此,对矩阵做初等行变换得到新矩阵

    1. 变换前后,任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
    2. 变换前后,行向量组等价(可以相互线性表出)
  • 由于行列的等价性,把上述讨论中所有 “行”,“列” 交换,仍成立

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