线性代数拾遗（2）—— 何时用初等行变换，何时用初等列变换？

1. 适用场合

1. 初等行、列变换可以混用
   1. 求矩阵/向量组的秩：初等变化不改变矩阵的秩（求向量组的秩也是先排成矩阵然后求矩阵的秩）
   2. 矩阵化行阶梯型矩阵（用来求秩）：同上
   3. 矩阵化为等价标准形：根据定义，化标准形时要同时左乘和右乘可逆矩阵，相当于初等行列变换都做了
   4. 求行列式的值：只要求出数值就行。注意在初等变换时要同步记录对行列式值的影响（互换→反号，倍乘→变k倍，倍加→不变）
2. 只能用初等行变换：
   1. 解线性方程组：只有行变换是线性方程组的同解变换
   2. 矩阵化行阶梯型矩阵（用来解线性方程组）：同上
   3. 求特征向量：本质是解齐次线性方程组
   4. 求（列向量）极大线性无关组：对于列向量而言，初等行变换保持线性相关性（证明见第2节）
   5. 求逆矩阵（横向排列）
      
3. 只能用初等列变换：
   1. 求（行向量）极大线性无关组：对于行向量而言，初等列变换保持线性相关性（证明见第2节）
   2. 求逆矩阵（纵向排列）
      

2. 初等行变换保持列向量的线性相关性

• 考虑一个 $n$ 元齐次线性方程组如下，它总共有 $m$ 个显式约束
  $$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+...+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+...+a_{2n}{x}_n=0\\ ...\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+a_{m3}{x}_3+...+a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$ 提取出系数矩阵 ${A\text{A}A}_{m\times n}$，并把它用 $n$ 个 $m$ 维列向量 ${a\text{a}a}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}{]}^{\top }$ 表示，原方程组变形为
  $$\begin{array}{rl}Ax\text{Ax}Ax& =[{a\text{a}a}_1,{a\text{a}a}_2,...,{a\text{a}a}_n]x\text{x}x\\ & =x_1{a\text{a}a}_1+x_2{a\text{a}a}_2+...+x_n{a\text{a}a}_n\\ & =0\text{0}0\end{array}$$ 这样，任意一个列向量都可以写成用其他列向量表示的形式
  $${a\text{a}a}_i=-\sum _{j\ne i}\frac{x_j}{x_i}{a\text{a}a}_j$$ 这意味着，这组向量的线性相关性由线性方程组的解唯一确定

  1. $\exists x_i\ne 0$，对应的 ${a\text{a}a}_i$ 就真的能由其他列向量线性表示，这一组向量就线性相关了（这时有效方程数量少于未知数个数，齐次线性方程组有无穷多非零解）
  2. $\forall x_i=0$（即 $x\text{x}x=0\text{0}0$）时，这一组向量线性无关（这时有效方程数量等于未知数个数，齐次线性方程组有唯一的零解）

• 对于线性方程组来说，对它做初等行变换是不改变解的（这正是高斯消元法的理论基础）。因此，对矩阵做初等行变换得到新矩阵

  1. 变换前后，任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
  2. 变换前后，行向量组等价（可以相互线性表出）

• 由于行列的等价性，把上述讨论中所有 “行”，“列” 交换，仍成立