机器学习&&深度学习——向量求导问题

‍作者简介：一位即将上大四，正专攻机器学习的保研er
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这篇文章的本意还是再一次复盘一下向量求导问题，很多时候的例子都直接推着就过去了，但是重新遇到总会卡壳一会，因为向量求导问题会分多种情况，所以我们在这里特意做个理解与总结。

标量对列向量求导

已知列向量x：
$$x=[x_1,x_2,...,x_n{]}^T$$
将标量y对x进行求导，得到：
$$\frac{\partial y}{\partial x}=[\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},...,\frac{\partial y}{\partial x_n}]$$
明明也就只有这么一个输出，而行表示输出，当然就是只有一行，而每列就代表每个偏导。
比如：对||x||²求导：
$$\frac{\partial y}{\partial x}=2x^T$$
或者y对这个点积进行求导，u、v是关于x的向量，则：
$$\frac{\partial y}{\partial x}=u^T\frac{\partial v}{\partial x}+v^T\frac{\partial u}{\partial x}$$

列向量对标量求导

已知y是列向量，x是标量，那么y对x求导依旧是列向量。
毕竟y是列向量就已经说明了其具有多个输出，自然需要保证导数以后，输出的量依旧为那么多。

两个向量求导

这边要讲一下分子布局和分母布局的意义：
1、分子布局：分子为列向量，分母为行向量
2、分母布局：分子为行向量，分母为列向量
按照之前的想法来看，向量对向量求导，那么就先将y的每一行都对x求导，最后把每行的x拓展成多列的行向量，最终会得到一个矩阵。

例如：
$$\frac{\partial x^{T}A}{\partial x}=A^T$$
我们的输入也可以拓展到矩阵，原理都一样

向量链式法则

我们从标量链式法则：
$$y=f(u),u=g(x)则\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$$
拓展到向量：

自动求导

计算图

将代码分解为操作子，将计算表示成一个无环图

自动求导的原理

首先，有两种求导的方式，一种是从x开始求导，叫做正向累积，一种是从最上面的根结点开始向下求导，叫做反向累积也叫做反向传递。我们通常用反向累积

1、构造计算图
2、前向：执行图，存储中间结果（如下图b=a-y，a=）
3、反向：从相反方向执行图（要去除不需要的枝）

正向累积和反向累积的对比

对于我们常用的反向累积，他的计算复杂度是O(n)，而内存复杂度是O(n)，毕竟前向要走一遍来存储各个中间结果，所以需要耗费内存复杂度（这也就是为什么深度学习非常耗费GPU）。
而正向累积，计算复杂度是O(n)，而内存复杂度是O(1)，根本不需要存储中间结果，由下往上逐个求导即可。但是正向累积一般不使用，因为每次计算梯度都要扫一遍。