Determinantal Point Process：机器学习中行列式的妙用

©PaperWeekly 原创 · 作者 | Yunpeng Tai

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在机器学习中，我们通常会面临一个问题：给定一个集合 ，从中寻找 个样本构成子集 ，尽量使得子集的质量高同时多样性好。比如在推荐系统中，我们就希望给用户推荐的东西尽可能的有质量，同时具有差异性。

而使得采样的子集尽可能具备多样性便是行列式点过程（Determinantal Point Process）大展身手的地方，俗称 DPP。

边缘分布

首先引入 DPP 的边缘分布定义，当我们某次采样出子集，「包括」  的概率：

是核矩阵（Kernel Matrix），即：

是由 中元素构成的子矩阵，举个例子，假如 ，那么：

当 越大，则 同时出现在 的概率就越小，从这个角度想，核函数应该是呈现出某种相似性。

从正定性出发，严格的定义如下是：

举个例子：

其特征值为 ，不满足 ，即不是半正定矩阵。

L-Ensemble

然而，上面边缘定义只是告诉我们采样时，某个子集被「包括」的概率，并非就是这个子集，而这个问题可以通过 L-Ensemble 去解

这里的 省略了下标，跟上面的 一样，是跟 元素相关的子矩阵。 矩阵的核函数是内积是 ，。

注意，这里指的不是概率，而是说概率「正比于」 矩阵的行列式，那么如何计算概率呢？也就是说我们得计算一个归一化常数（normalization constant），可以类比抛硬币，我们得去求总的抛起次数，除以它才能得到概率。

引入下述定理：

其中 是将单位矩阵中与 相关元素全部置零，举个例子，当 时：

那么如何求归一化常数呢，即将 ，当 为空集时，便包括了所有的情况，即：

另外，L-Emsemble 的  对应关系如下：

直观解释

那么，行列式与多样性的直观解释是什么呢？

多样性和相似性的意思正好相反，通常我们会定义相似性为两个向量之间做点积，即为 ，直观上看，两向量夹角的余弦值 越大，相似性越高，反过来看，当 最小即为两者相似性最差，多样性最好。显然，当两向量正交时多样性最好。

那么，对于一个子集 而言，该如何定义它的多样性呢？不难想出，可以通过线性无关向量的数量来定义，若两两都互不线性相关，此时的子集的多样性是最好的。直观上可以转换为构成的超平行体的体积，下方为 时的示意图。

为什么呢？可以拿平行六面体为例，若其中一个向量与其他向量线性相关，那么则会坍缩成一个平面，构不成平行六面体

只有当所有向量两两都线性无关时，构成的超平行体体积最大，即多样性最好。

而行列式可以表示体积，下式中 代表体积（volume），此时 ， 为方阵

也就是说，我们可以通过行列式的大小来定义多样性。

那么， 的行列式是否也跟体积有关呢？答案是肯定的：

接下来证明这一结论：

由于 ，因为 维空间至多存在 个两两线性无关的向量，那么肯定存在一个 维子空间 ，存在正交矩阵 ，对向量 进行旋转，使得 都落在子空间  上。不妨设 的基底是前 个标准正交基，那么：

， 一共有 个，因为用 的基底向量表示，后面只能为，将 当作 的列，就有：

显然， 与 两者体积相等。

那么：

由于对超平面体进行旋转不改变其体积（注意，这里是旋转而不是一般的线性变换，一般的线性变换不具备该性质）。

那么：

又因为 正交矩阵，即 ，那么：

所以：

从 L-Emsemble 角度看，被采样的概率正比于构成的超平面体的体积，即两两之间线性无关更容易被采样出。

Demo

接下来我们用例子来看一下是否 DPP 能够采样出更有多样性的子集。

from torch import det, eye
from transformers import set_seed
from transformers import BertModel, BertTokenizer

set_seed(42)
pretrain_path = "fabriceyhc/bert-base-uncased-imdb"
model = BertModel.from_pretrained(pretrain_path).cuda()

tk = BertTokenizer.from_pretrained(pretrain_path)
input_text = [
    "I am happy because the weather is extremely good!",
    "I hate the bad weather",
    "The weather is extremely good!",
]
inputs = tk(input_text, max_length=128, return_tensors="pt", truncation=True, padding=True)
inputs = {k: v.cuda() for k, v in inputs.items()}
outputs = model(**inputs).pooler_output.T
vtv = outputs.T @ outputs
group_12 = vtv[:2][:, [0, 1]]
I = eye(2).cuda()
p_12 = det(group_12) / det(group_12 + I)

group_13 = vtv[[0, 2]][:, [0, 2]]
p_13 = det(group_13) / det(group_13 + I)

print('采样到第一个和第二个的概率：%f'%p_12)
print('采样到第一个和第三个的概率：%f'%p_13)

# 采样到第一个和第二个的概率：0.983567
# 采样到第一个和第三个的概率：0.923823

然而，对于一个大小为 的集合，一共有 种组合，如何快速地进行 DPP 的计算以及如何最快找到大小为 的多样性最大的子集是比较困难的，留给下文。

问题

先规定一些术语：记选中元素构成的集合为 ，未选中构成的元素记为 ， 是核矩阵（核函数是内积）， 是由集合 的元素构成的子矩阵。

在上文中我们提到在大小为 的集合里去挑选 个物品构成集合 ，使得 最大便是我们的目标，然而，怎么去里面挑选 却是 NP-Hard 问题，为此，Chen et al., 2018 提出了一篇比较巧妙的贪婪算法作为近似解，并且整个算法的复杂仅有 。

暴力求解

我们人为规定了要选择 个，这相当于是一种前验分布，那么 k-DPP 其实就是最大化后验概率（MAP）的一种，每一步的目标就是选择会让新矩阵的行列式变得最大的元素。

对于一个 的方阵而言，求它的行列式需要 （每一轮消元的复杂度是 ，而要进行 轮消元）。

这里的话，每次要对 所有的元素求一次行列式，而行列式的为 ，同时需要选 个，复杂度变为了 ，即为 ，暴力求解的话复杂度很大，此时原作者便提出了利用 Cholesky 分解的方式来进行求解，巧妙地将复杂度降到了 。

Cholesky分解

是对称半正定矩阵，证明如下：

那么 存在 Cholesky 分解，即 ，这里的 是大小为 的下三角矩阵， 比 多了一行和一列，即为：

而这里默认每个向量是经过归一化的，即 ，那么 的 Cholesky 分解即为下式，其中 ：

结合上面两式：

可得：

那么：

这样我们一开始的优化目标就可以简化为：

接下来，当我们得到 时，便可以算出 ，那么添加 之后的新集合 的 Cholesky 分解便可以求得：

增量更新

接下来便是重头戏，这一轮我们已经得到了最好的 了，下一轮我们怎么求出最大的 呢？

可以利用之前求出的 来获取当前的 ，这便是论文的核心：增量更新

在我们选择了 后， 多了一个元素，不妨记 ，回忆上面的式子：

也就是说，其中 就是第 个元素与集合 对应向量做内积的结果。

那么，类比一下， 是 的 Cholesky 分解。

继而：

求出 之后，我们便可以求出 ：

流程

那我们来分析一下复杂度，每选一个 需要进行 次操作，而 ，也就是 ，得进行 次迭代，那么总的复杂度即为 ，由 降到 ，是不错的进步。

代码

熟悉了整个流程之后，代码想必也是呼之欲出了。

import math
import numpy as np

def fast_map_dpp(kernel_matrix, max_length):
    cis = np.zeros((max_length, kernel_matrix.shape[0]))
    di2s = np.copy(np.diag(kernel_matrix))
    selected = np.argmax(di2s)
    selected_items = [selected]
    while len(selected_items) < max_length:
        idx = len(selected_items) - 1
        ci_optimal = cis[:idx, selected]
        di_optimal = math.sqrt(di2s[selected])
        elements = kernel_matrix[selected, :]
        eis = (elements - ci_optimal @ cis[:idx, :]) / di_optimal
        cis[idx, :] = eis
        di2s -= np.square(eis)
        di2s[selected] = -np.inf
        selected = np.argmax(di2s)
        selected_items.append(selected)
    return selected_items

这里实现比较有趣的点就是，尽管伪代码中是 ，这里其实是全部算了，但他对已选的进行了后处理，置之为 。

接下来我们实操一下，从句子对匹配 BQ Corpus（Bank Question Corpus）拿出一条来看一下效果，首先是将其用预训练模型转换为表征向量，接着进行归一化操作，为了更好地看出 DPP 的效果，我们先用最大化内积来召回 50 个样本，再用 DPP 从这里召回 10 个具有多样性的样本：

原句：我现在申请微粒货？

['我现在申请微粒货？', '申请微贷粒', '申请微贷粒', '我想申请微粒贷', '可以么想申请微粒贷', '微粒貸申请', '微粒貸申请', '如何申请微粒', '我现在需要申请', '我可以申请微粒贷吗', '怎么申请微粒货', '微粒貸申请', '如何申请微粒', '我可以申请微粒贷吗', '什么情况下才能申请微粒', '我要求申请', '开通微粒货', '开通微粒貨', '开通微粒货', '可以申请开通吗', '开通微粒货', '开通微粒货', '怎么申请微粒货', '申请贷款', '如何申请微粒贷', '怎么申请微粒货', '开通微粒貨', '如何申请微粒', '想办理微粒贷业务', '申请贷款', '可以申请开通吗', '我要微粒贷', '我要微粒贷', '可以么想申请微粒贷', '开通微米粒', '想开通', '我要微粒贷', '如何申请微粒', '想开通', '开通微粒貨', '开通粒微贷', '何时才能申请啊', '现在想获取资格', '怎么申请微粒货', '开通申请', '开通', '开通', '你好我申请借款', '开通微']

可以看到有不少重复且意思一样的样本：

接着看 DPP 的效果：

['我现在申请微粒货？', '开通', '何时才能申请啊', '怎么申请微粒货', '你好我申请借款', '现在想获取资格', '我可以申请微粒贷吗', '我要微粒贷', '微粒貸申请', '什么情况下才能申请微粒']

可以发现里面没有重复的情况，而且语义具备多样性，而值得注意的是，此时就有一些和我们的原句意思不匹配的情况，在应用时可以自定义新的 kernel，让它同时注意相似性和多样性；或者可以对 DPP 的样本进行后处理等。

Sliding Window

当 相当大的时候，就会有相似的样本开始出现，即超平行体会开始坍缩，不妨我们将 缩小成一个滑动窗口 ，我们仅仅需要保证窗口内的样本具备多样性即可，即：

推荐系统中有短序推荐（Short Sequence Recommendation）的说法，推荐的时候只考虑用户短期内的一些行为，而长序推荐会考虑一个较长时间跨度来进行推荐。

Window size 的选择也是比较重要的，不妨看一些 demo：

如果我们的目的是为了通过 Sliding Window 获取与直接 DPP 召回不一样的结果，窗口的大小要适当地小一些，然而小了导致看的范围小了，很有可能最后结果出现重复的情况，最好是将窗口设置到召回样本数目的 。

同时，为了防止样本重复，可以多召回一些，比较直觉的做法可以再加上一个 window 的大小，然后去重：

w/o window
['开通', '怎么申请微粒货', '何时才能申请啊', '现在想获取资格', '我要微粒贷', '微粒貸申请', '我可以申请微粒贷吗', '什么情况下才能申请微粒', '你好我申请借款', '我现在申请微粒货？']

w/ window
['开通', '开通申请', '怎么申请微粒货', '何时才能申请啊', '现在想获取资格', '我要微粒贷', '我可以申请微粒贷吗', '可以申请开通吗', '如何申请微粒', '我现在申请微粒货？']

可以看到会有 3 个不一样的样本，还是比较有效的。

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