高中奥数 2022-01-25

2022-01-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P055 习题41）

数列定义如,且

证明:为整数的充要条件是为素数.

证明

令, ,则,,且当时,有,即

利用(1)递推可得

$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{n-1} &=(n-1) \cdot \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{n-2}\\ &=(n-1)(n-2) \cdot \dfrac{x_{n-1}-x_{n-2}}{n-3} \\ &=\cdots\\ &=(n-1) \cdots 2 \cdot \dfrac{x_{3}-x_{2}}{1}\\ &=(n-1) ! \end{aligned}$

得,裂项求和,知.

结合Wilson定理:当且仅当为素数时,,可知的充要条件是为素数.

2022-01-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P056 习题42）

给定素数,令.定义数列如下

求除以所得的余数.

解

引理设、,,则

对归纳予以证明.当时,(1)就是,故(1)对成立.

现设(1)对k成立,考虑的情形.此时,下标的最小值在时取到,该最小值为,所以,下面求和式中的每一项都可用条件中的递推式.

由归纳假设知,当时,有

$\begin{aligned} a_{n} &=\sum\limits_{i=0}^{k} \mathrm{C}_{k}^{i} a_{n-i(p-1)-k} \\ &=\sum\limits_{i=0}^{k} \mathrm{C}_{k}^{i}\left(a_{n-i(p-1)-k-1}+a_{n-i(p-1)-k-p}\right) \\ &=\mathrm{C}_{k}^{0} a_{n-k-1}+\sum\limits_{i=1}^{k} \mathrm{C}_{k}^{i} a_{n-i(p-1)-k-1}+\sum\limits_{i=0}^{k-1} \mathrm{C}_{k}^{i} a_{n-i(p-1)-k-p}+\mathrm{C}_{k}^{k} a_{n-(k+1) p} \\ &=\mathrm{C}_{k+1}^{0} a_{n-(k+1)}+\sum\limits_{i=0}^{k-1} \mathrm{C}_{k}^{i+1} a_{n-(i+1)(p-1)-(k+1)}+\sum\limits_{i=0}^{k-1} \mathrm{C}_{k}^{i} a_{n-(i+1)(p-1)-(k+1)}+\mathrm{C}_{k+1}^{k+1} a_{n-(k+1) p} \\ &=\mathrm{C}_{k+1}^{0} a_{n-(k+1)}+\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left(\mathrm{C}_{k}^{i+1}+\mathrm{C}_{k}^{i}\right) a_{n-(i+1)(p-1)-(k+1)}+\mathrm{C}_{k+1}^{k+1} a_{n-(k+1) p} \\ &=\sum\limits_{i=0}^{k+1} \mathrm{C}_{k+1}^{i} a_{n-(i+1)(p-1)-(k+1)} . \end{aligned}$

最后一步,用到.

所以,(1)对成立,引理获证.

下面利用引理来处理原题.

当时,在引理中令,就有

熟知,当时,有,所以,,这时结合,可得,这表明对任意,有.

由于,故,而,所以,即除以所得的余数为.

2022-01-25-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P056 习题43）

设为不小于2的正整数,,为整数,考虑由递推式

定义的数列.用表示满足的最小下标.

(i)设为给定的正整数,求和的值;

(ii)证明:对任意和都有.

解

为方便计,记,,则,且

这表明,且

(i)题中的和等价于针对求和.

前者等价于求最小,使得,后者等价于求最小的,使得.

显然,而对,都有,故.

又,从而,又对,都有,于是,故.

所以,针对有,.

(ii)还是转到上讨论,要求证明:.

现设,则,从而,这表明(这里用到类似于初等数论中阶的性质),即有,命题成立.

高中奥数 2022-01-25

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