动态规划算法

1.应用场景-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

2.动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解
   的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这
   些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子
   阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

3.动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

3. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价
   值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
4. 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
5. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品
   放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j]
   表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个
单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

6. 图解的分析
   

4.动态规划-背包问题的代码实现

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] w = { 1, 4, 3 };// 物品的重量
		int[] val = { 1500, 3000, 2000 };// 物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
		int m = 4;// 背包的容量
		int n = val.length;// 物品的个数

		// 创建二维数组
		// v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

		
		
		// 初始化第一行和第一列，这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0;// 将第一列设置为0
		}
		for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0;// 将第一行设置0
		}

		// 根据前面得到的公式来动态规划处理
		for (int i = 1; i < v.length; i++) {// 不处理第一行 i是从1开始的
			for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {// 不处理第一列，j是从1开始的
				// 公式
				if (w[i - 1] > j) {// 因为我们程序i是从1开始的，因此原来公式中的w[i]修改成w[i-1]
					v[i][j] = v[i - 1][j];
				} else {
					// 说明
					// 因为我们的i从1开始的，因此公式需要调整成
					// v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
				}
			}

		}

		// 输出一下v 看看目前情况
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
	}

}