《吴军数学通识50讲》学习笔记（完）

发刊词：数学到底怎么学？

• 数学是一种抽象的知识体系，而我们人要靠经验感知才能认识世界，这中间需要一个桥梁。
• 构建通往数学的桥梁，把熟悉的知识点各安其位，放进知识体系里。
• 在介绍这些关键数学知识点的同时，会讲清楚它们在数学上的位置，以及和各种知识体系的相关性。
• 通过学习数学，实现思维方式的跃进。
• 一个学好数学最重要的方法是，不断训练自己的思维方式。

01.导论：数学通识课的体系和学习攻略

• 数学的各个分支，从体系到研究方法，再到应用方法是共通的。
• 第一模块讲的是数学究竟是怎么从一个猜想，得到推论，然后又产生实际应用的。
• 数学发展和体系构建常常经历的步骤，从特例到引理再到定理、推论，最后到应用的全过程。
• 第二个模块通过讲述人类对数字这个概念的认识历程，学会一个思维工具——“从具体到抽象”。
• 第三第四模块的内容集中在熟悉的几何和代数。
• 第五模块是微积分。
• 为了研究不确定世界的规律性，概率和统计发展起来了。
• 从个案到整体规律，从个别定理到完整的知识体系，从具体到抽象，从完全的确定性，到把握不确定性。

02.勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理？

• 数学和自然科学的三个本质区别。
• 测量和逻辑推理的区别
• 在数学上，观察的经验可以给我们启发，但是不能成为得到数学结论的依据，数学结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来。
• 用事实证明和用逻辑证明的区别
• 数学世界和测量世界第二个区别就是，数学理论必须要证明，保证没有例外。
• 科学结论相对性和数学结论绝对性的区别。
• 有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。
• 数学定理确立的过程大致是这样的，一开始可能只是大家注意到几个特例，然后发现很多例证提出猜想，猜想经过证明就成为了定理，定理会有推论，在此基础上，会有新的定理和应用。

03.数学的预见性：如何用推理走出认知盲区？

• 反证法就是先假定条件都满足，再找出矛盾之处，就能推翻原来的假设。
• 人类在科技历史上，很多重大的发明发现恰恰来自于上述的矛盾。

04.数学思维：数学家如何从逻辑出发想问题？

• 从逻辑出发想问题，就可以发现很多日常中被忽略的问题，从而找到真正答案。
• 数学思维不是指算小账算得清楚，而是说善于基于数学知识，使用逻辑发现问题，或者预见到不得不做的事情。

05.数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理

• 我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分。

06.黄金分割：毕达哥拉斯如何连接数学和美学？

• 黄金分割的美感来自几何图形的相似性。

07.数学应用：华罗庚化繁为简的神来之笔

• 很多高水平的数学家，不仅能够研究复杂的理论问题，还能够为复杂的实际问题找到简单的，可重复使用的解决方法。
• 所谓线性规划，就是用很多线性方程在多维空间里划定一个区域，在区域里找最佳值。
• 在很多需要做决定的事情上，自觉或不自觉地把做决定的时间放在黄金分割点或者反方向的黄金分割点上。

08.数列和级数（一）：当下很重要，但趋势更重要

• 知道整个数列每一个位置元素的数值，就是提升自己从孤立事件里发现规律的能力。
• 数列是一种工具，看似是一串数字，但这里重要的是彼此的关联，以及数字的规律，而不是数字本身。
• 学习数学的技巧，不在于题做的有多难，而是能用一两条关键的线索把各个知识点串联起来。
• 仅仅通过少数几个数字得到的所谓的规律，其实和采用大量数据后得到的规律完全是两回事。
• 不仅关心当前这个数有多大，或者我们有多少钱，多少资源，还关心明天他能变多大，变多快，这就是数列的意义。

09.数列和级数（二）：传销骗局的数学原理

• 技术无穷大的关键是相邻两个元素的比例r，如果r≥1，即后一个比前一个大，级数就是无穷大，就是发散。反之，则是收敛的，多少项加到一起也是一个有限的数字。

10.数列和级数（三）：藏在利息和月供里的秘密

• 要算好各种利率计算的影响。

11.鸡兔同笼：方程这个数学工具为什么很强大？

• 数学应用题的核心关键就是要把自然语言描述的现实世界的问题变成用数学语言描述的问题。
• 学会把具体问题抽象成模型，才能解决更多更难的新问题。

12.三次方程：数学史上著名的发明权之争

• 通常先有引理，可以把引理看成是一个简单、辅助性的定理，他们存在的目的是为了后面证明定理。
• 数学的发展是层层叠加的，学习数学也应该如此，理解这一点是学习好理科课程的关键。
• 数学是个工具，学习数学是练习自己使用工具的能力。最要注重学习的是概念，以及概念之间的联系，然后能够把现实的问题转化成数学问题。

13.虚数：虚构这个工具有什么用？

• 很多数学工具都是如此，他们并非我们这个世界存在的东西，而是完全由逻辑虚构出来的。但是我们现实世界的事情，却要用这些虚构的工具来解决。
• 虚数作为数学工具最大的用途，可能是便于将直角坐标变成极坐标。
• 复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。

14.无穷：我们为什么难以理解无限的世界？

• 无穷大反映一种趋势，一种无限增加的趋势。
• 在无穷大的世界里，部分可以完全和整体等价。
• 不能以有限的认知，去理解无限的事物，也不能把那些从很少的经验中得到的结论，放大后用于更大的场景。
• 在工作中，要优先考虑量级的提高，而不是捡芝麻的事情。

15.无穷小（上）：如何说服“杠精”芝诺？

• 无穷小不是一个具体的数，而是一个概念、一个趋势，就和无穷大一样。

16.无穷小（二）：牛顿和贝克莱在争什么？

• 微积分的意义让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把我瞬间动态变化和加速变化。

17.无穷小（三）：用动态和极限的眼光看世界

• 极限是客观存在的。
• 极限最大的特征是“无限逼近”最后趋同。
• 完善数学上的漏洞，就要引入新的概念，把原来数学的体系扩大为新的体系。
• 一个便捷的认知升级过程：
  • 1.不要怕提出傻问题，符合逻辑的傻问题常常是认知升级的开始。
  • 2.如果之前的知识解决不了那些看似傻问题的悖论，我们可能要跳出圈子，因为在圈子里转永远解决不了问题。
  • 3.当我们扩大我们知识体系的时候，之前的傻问题可能有了答案。
  • 4.但是不要指望一次就能完美的解决所有问题。我们的解决方案可能有漏洞，不要怕被别人指出来。当我们进一步弥补漏洞后，我们的认知就再次升级。

18.有什么比无穷大更大，比无穷小更小？

• 当一个无穷小量比另一个以更快的速度趋近于零，就说第一个比第二个更小。
• 很多个低阶无穷大，加在一起增长的速率都比不上一个高阶的。
• 计算机算法所关心的事情，是当问题很大时，不同的算法的计算量以什么速度增长。
• 一个好的计算机从业者，在考虑算法时，是在无穷大这一段，考虑算法量增长的趋势，一个平庸的从业者，则是对一个具体的问题，一个固定的N，考虑计算量。

19.复盘：数学给了我什么启示？

• 知道自己的只是有穷尽，而未知世界无穷尽，反而会更接近真理，更容易提高自己的认知。
• 真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。
• 过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到长期的利益，这样反而不聪明了。
• 人是特别善于创造虚拟概念的物种，我们今天的生活其实离不开各种虚拟物作为实体的媒介。
• 往无穷小变化的趋势和往无穷大变化的趋势如果相乘，最后是清零，是常数，还是不断放大，就看谁的阶高了。
• 逻辑可以帮助我们分析清除我们看不到的事情，甚至不存在的事情。
• 做事专业，就需要掌握专业的术语。
• 取得小成就要靠朋友帮忙，但是要取得惊人的成就，就需要一个理性的对手。
• 对科学家最大的褒奖是荣誉，因此今天科学家们争的是谁第一个发现某个规律，而不是保守秘密。
• 对于一个人来讲，他需要搞清楚的，就是自己想要什么。

20.几何学：为什么是数学中最古老的分支？

• 几何学发展的三个阶段。
• （1）.从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识。
• （2）.美索不达米亚人发明了角度量化的度量。
• （3）.用书记录他们所发现的规律。

21.公理体系：几何的系统理论从何而来？

• 整个几何学的基础是十条非常简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。
• 如何学几何，不在于多做多少题，做练习的目的是理解这个体系中每个定理的来龙去脉，这样脑子里就有了几何学的导图，遇到新的问题就可以用类似的方法解决。
• 除了那些客观的、被验证了的，或者不证自明的道理，我们做决定时，不要加上过多的主观假设。

22.非欧几何：相对论的数学基础是什么？

• 罗巴切夫斯基假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。空间就由平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也成为双曲面。这是罗氏几何。
• 黎曼假定过直线外一点，一条平行线也做不出来，这就是黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。
• 三种几何体系，90%的公理都是相同的，最后差出了一条看似最无关紧要的公理，但是，由此之后，发展出来的知识体系就完全不同了。
• 在不同的应用场景中，有的工具好用，有的费劲，学数学的关键是要学会在什么情况下，指导使用什么工具。

23.解析几何：用代数的方法解决更难的几何题

• 解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。
• 学好数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。

24.为什么几何能为法律提供理论基础？

• 通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平。
• 要练习从基本的假设，也就是所说的已知条件出发，采用逻辑客观地推导出结论。要把数学从单纯的脑力练习，变成掌握工具的练习。

25.函数（上）：从静态到动态，从个别到趋势

• 函数的四个共性：
• （1）.这些函数里面都有变量；
• （2）.他们都有一种对应关系；
• （3）.对应关系都必须是确定的；
• （4）.函数所对应的关系可以通过数学的方法，或者其他方法算出来。
• 有了函数，人类在认识上有了三方面的进步。
• （1）.很容易看出两个变量之间是怎么互相影响；
• （2）.从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的的差异；
• （3）.通过学习几个例题，掌握解决一系列问题的方法。

26.函数（下）：如何通过公式理解因果关系？

• 了解了相关性和必然性的差别，能让我们少犯错误。
• 今天的学术研究通常只能在几个维度研究相关性，因此对于研究的结论，我们要全面看待。

27.向量代数（上）：“方向比努力更重要”是鸡汤吗？

• 在这个世界上，对于大部分物理量和在生活中遇到的数量，不仅需要关心数值的大小，还需要关心方向。
• 每次看到数字时就必须想一想，“是否考虑了方向？”否则就还是停留在小学生对数字的理解程度。
• 往三个方向使力，每一次努力其实都是有成本的，但是很多时候努力相互抵消掉了。

28.向量代数（下）：如何通过向量夹角理解不同“维度”？

• 除非有非常强的推荐，否则简历写得不好经常连第一关都过不了。
• 这些画蛇添足的内容其实稀释了求职者的竞争力。

29.线性代数：“矩阵”到底怎么用？

• 矩阵产生的原因是向量的扩展。
• 将单个计算变成大批量处理，是今天在信息时代要有的思维方式。

30.微分（上）：如何从宏观变化了解微观趋势？

• 导数的本质是对变化快慢的准确量化度量。
• 在任何时刻算出梯度，然后沿着最陡，但是收益最大的路径前进。
• 微积分的第一个思维提升就是练习从宏观趋势中把握微观变化的趋势，认清每一步的方向。

31.微分（下）：搞懂“奇点”，理解“连续性”

• 常说的奇点临近，就是指出现了不连续的情况。
• 导数在数学上更本质的意义，在于它是对于连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。
• 在股市上，如果一家公司的业绩表现总是不平滑变化的，它的股价常常好不了，因为投资人无法预期它的表现。
• 如果一个函数的导数存在，这个函数一定是连续的，但是反过来却未必正确。
• 不可导的趋势靠不住。

32.积分：如何从微观趋势了解宏观变化？

• 积分的第一个意义是能把握每一个细节对最后整体的影响。
• 积分的第二个意义是从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上累积的效果。

33.用变化的眼光看最大值和最小值

• 牛顿求解最大值，将最优化问题看成是研究函数动态变化趋势的问题。

34.微积分到底是谁发明的？

• 今后如果要参与到一件前无古人的事情中，就清楚该如何确立自己的位置和角色。
• 对于一项发明，简单追溯最早的发明人是没有意义的，而要看谁做出了具体的贡献。
• 很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从0到N的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚。

35.概率简史：一门来自赌徒的学问

• 每一种不可再分，都是单位事件。单位事件的概率成为原子概率。
• 所有可能发生的情况放在一起，构成了一个随机事件总的集合（也成为概率空间）。

36.伯努利实验：到底如何理解随机性？

• 随机试验得到的结果，和用古典概率算出来的结论可能是两回事。
• 在一般情况下，出现A的概率是p，B的概率是1-p，这类实验后来被称为伯努利实验。
• 实验的次时太少，统计的规律性被实验的随机性掩盖了。
• 有关不确定性的规律，只有在大量随机实验时才显现出来，当实验的次数不足，他则显现出偶然性和随意性。
• 方差其实是对误差的一种度量。
• 对方差开根号一次，得到的结果被称为标准差。
• 越是小概率事件，如果想确保他发生，需要实验的次数比理想的次数越要多得多。
• 提高单次成功率要远比多做实验更重要。
• 由于误差的作用，要确保小概率事件发生，成本要比确保大概率事件的发生高得多。
• 凡事做好充足准备，争取一次性成功，要远比不断尝试小概率事件靠谱的多。

37.泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？

• 如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立的实验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：

• λ是试验次数n乘以每次实验出现情况的可能性p的乘积。
• 很多人投资总是失败，判断一件事发生的可能性总是有很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉和有严重漏洞的逻辑，而不是靠严密的数学逻辑和推导。
• 应对随机性，需要的冗余要比想象的要大。
• 由于随机性的作用，在准备资源时，达到的平均值还是不够的，需要准备一些冗余量。
• 池子越大，越能抵消随机性带来的误差。

38.高斯分布：大概率事件意味着什么？

• 假定事件A经过n次试验后发生了k次，把k的概率分布图画一下，就得到了中间鼓起，像倒扣的钟一样的对称图形。

• 高斯对正态分布的主要贡献在于，他利用概率分布的平均值和标准差来定义了正态分布。
• 两个正态分布重叠区域，表示无法做出判断的情况，这个区域的面积，就是无法做出判断的概率。
• 1-无法做出判断的概率，就是置信度。
• 标准差越大，分布图越扁平，标准差越小，分布越瘦高。
• 实验样本较少时，标准差越大。（个人理解是，样本增大后，各钟样本的增加幅度不同，越靠近均值的，样本增加的个数越多）。
• 三σ原则：68-95-99.7

• 图中曲线和X轴之间的面积，就是曲线的积分，面积的大小就代表了高斯分布在某个范围内的概率。
• 股市的风险远远高于大部分人的想象。
• 由于任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进去，不能只考虑回报不考虑风险。
• 由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差异，那可能说明不了什么问题。

39.条件概率和贝叶斯公式：机器翻译是怎么工作的？

• 在某个特定条件下发生的概率，就是条件概率。
• 很多人学习别人的经验，用到自己身上就不灵了，原因就是没有搞清楚条件。另一方面，有些原因大家认为不可能做成的事情，一旦条件具备，就成为了大概率事件。
• 一个随机事件发生的条件概率，取决于两个因素。一个是这个条件本身出现的次数，另一个是这个条件和这个随机事件一同出现的次数。

• 数学上的因果关系不像在物理上是单方向的，他可以是条件和结果互为因果。在概率上也有这样一个特点，就是条件和结果可以互换。

• 常常从容易得到的条件概率，推导出难得到的概率，这就是著名的贝叶斯公式。
• 有没有条件存在，一个随机事件的概率可以相差很大。凡事讲究条件，这是一个重要的知识点。
• 通过互换，可以把一个复杂的问题变成三个简单的问题，这就是贝叶斯公式的本质。

40.概率公理化：一个必须补上的理论漏洞

• 互补事件的概率之和等于1。
• 不可能事件的概率为零。
• 只有建立在公理化基础上的概率论，才站得住脚。

41.统计学和大数据：为什么大多数企业用不好数据？

• 统计学严格来讲是一门独立的科学，他是关于收集、分析、解释、陈述数据的科学。
• 虽然今天数据量不再是问题，但如何选定可能有关联的变量，则体现了人类的智慧。
• 今天看似大数据的数量是足够的，但是如果把它分为了很多的维度，其实还是很稀疏的。
• 想用好数据的五个步骤：1.设立研究目标。2.设计实验，选取数据。3.根据实验方案进行统计和实验，分析方差。4.通过分析进一步了解数据，提出新假说。5.使用研究结果。

42.古德-图灵折扣估计：黑天鹅事件能防范吗？

• 将小概率事件的概率强制设定为零，结果就是早晚会遇到黑天鹅事件。
• 齐普夫定律：对各种语言中词频的统计发现，一个词的排位，和它词频的乘积，近乎是一个常数。
• 齐普夫定律被认为是一个自然界的普遍规律。每一个人都需要牢记齐普夫定律，就不会相信所有人都能够通过创业成为富翁这样的鸡汤观点，因为他违背齐普夫定律。
• 古德-图灵折扣估计：把高频词的词频打了个折，多出来的词频分配给了低频词。
• 插值法：相信那些见到次数比较多的统计结果，如果遇到统计数量不足时，就设法找一个可靠的统计结果来近似。
• 很多时候，我们需要项古德那样预防不测，当然凡事都有成本，预防不测的成本在于要降低一些高收益项目的利润。同时，我们也要像贾里尼克那样，永远更多的依赖可靠的统计结果。

44.非零和博弈（纳什均衡）：真的存在共赢吗？

• 非零和博弈就是双方的得失加起来不为零，也不是个常数的博弈。
• 在这种非零和博弈难题中，找到纳什均衡点就是最安全的解决办法。
• 实现双赢的前提是彼此有信任，这种情况下的博弈，也被称为合作型博弈，而之前那是解决的是非合作博弈。
• 对方只要做一次不诚信的事情，我会永久性的将这个人删除，因为只有在一个合作的环境中才有双赢的可能性。
• 永远不要玩难以达成双赢的游戏，因为出来混总是要还的，人不可能永远在零和博弈中占别人的便宜。
• 如果小企业投入大量资金得到新技术，而大企业也享用技术并利用体量优势竞争，小企业就要垮台。

45.数学和哲学：一头一尾的两门学科

• 一个数学的分支，其基础一旦建立起来，就几乎不会改变了。
• 靠经验的积累有两大问题，一个是来得太慢，更糟糕的是直接经验常常是不可靠的。
• 一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。
• 具有一颗自由而炙热的心，去追求很高的、比较纯洁的精神生活，并且能够站在哲学的高度去研究数学。

46.数学与自然科学：数学如何改造科学？

• 从简单的观察上升到理性的分析。
• 从给出原则性结论到量化的结论。
• 将自然科学公式化，护着说用数学的语言来描述自然科学。
• 养成理性和量化地处理我们日常工作的习惯，建立和他人的沟通基础。

47.数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？

• 同一律：一个事物只能是其本身。
• 自己不懂逻辑，头脑不清，讲出的话违反了同一律后，就会造成别人的误解，甚至自己也会被绕进去，很多人缺乏好的沟通能力，可以溯源到讲话经常违反同一律上。
• 矛盾律：不可能既是A又不是A。
• 排中律：“是非”明确，不存在中间状态。
• 充分条件律：有果必有因。

48.数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具？

• 耗费时间的瓶颈在关键路径上，而不在看似很花时间的工序上。
• 要想缩短整个的生产时间，就需要缩短关键路径上的时间，这就是运筹学的思想。
• 运筹学其实就是利用图论、线性代数等数学工具，从整体上改进现有系统的效率。
• 一个企业最重要的是他的愿景和使命，价值观和文化。
• 愿景和使命是一家企业需要存在的理由。
• 价值观体现了企业中的任何外界各种人的关系。
• 需要用数学的思路，也就是归纳和演绎的方法，构建出一个能够自恰的知识体系。
• 在历史学研究中，不强调所谓的正确性或者正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上能自洽的结论都是有意义的。

49.伽罗瓦和古典数学难题：难题给我们的启发

• 伽罗瓦被确认为群论的开创者，这个理论的基础部分也被称为伽罗瓦理论。
• 绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。
• 在一个时代，某些问题之所以闲得很难，是因为他们看似属于当时的知识体系中的问题，但其实这只是表象。